Küme Elemanları ile Çarpım Problemi

Merhaba Gizem, seninle birlikte bu harika TYT küme ve işlem sorusunu çözelim. İlk olarak soruda bize verilen kümemizi ve işlemi inceleyelim.

A kümesinde toplam yedi adet eleman bulunuyor. Bu elemanların tamamını şemadaki yedi daireye yerleştireceğiz.

Şemada üst sırada beş dairenin çarpımı var. Bu beş dairenin çarpımının sonucu yetmişe eşitmiş.

Kalan iki daire ise K ve N harfleriyle gösterilmiş. Bizden K artı N toplamının en çok kaç olabileceği isteniyor.

Şimdi yetmiş sayısını çarpanlarına ayırarak hangi sayıların üstteki beş daireye yerleşebileceğini bulalım.

Yetmiş sayısı iki, beş ve yedinin çarpımıdır. Dikkat ederseniz bu üç sayı da A kümesinde bulunuyor.

Ancak üst sırada beş tane sayı çarpmamız gerekiyor. Bizim elimizde ise şu an üç çarpan var. Diğer iki çarpanı nasıl belirleyebiliriz?

Tabii ki çarpımı değiştirmeyen etkisiz elemanları kullanabiliriz. Ancak kümemizde bir sayısı bulunmuyor.

O halde, iki çarpanın kendisini tek bir sayı gibi yazmak yerine, çarpımları kümedeki bir sayıya eşit olacak şekilde dağıtabiliriz.

Örneğin, elimizdeki altı sayısını iki ile üçün çarpımı olarak yazabiliriz. Böylece iki yerine iki ve üçü kullanabiliriz.

Bu durumda çarpanlarımızı tekrar düzenleyelim. İki, beş ve yediden oluşan çarpan grubundaki iki yerine, altı bölü üç yazalım.

Bunu düzenlersek, altı çarpı beş çarpı yedi, paydada ise üç olur. Bu tam sayıları çarpan olarak yazmak için şöyle düşünebiliriz: Üç, beş, yedi çarpanlarına ek olarak, üçü sadeleştirecek ve geriye iki çarpanı bırakacak bir kombinasyon arıyoruz.

En basitinden, iki yerine altı bölü üç yazarsak, çarpanlarımız üç, altı, beş, yedi olur. Ancak hala beş sayıya ihtiyacımız var. Bir çarpan daha bulmalıyız.

Harika! Üç ile dördün çarpımı on iki yapar, bunu altıya bölersek iki elde ederiz. Yani iki çarpanı yerine üç, dört ve altı sayılarını kullanabiliriz. Çünkü üç çarpı dört bölü altı, ikiye eşittir.

O halde üst sıradaki beş daireye yerleştireceğimiz sayıları yazalım.

Doğru, soruda sadece çarpma işlemi var. O zaman çarpanları bölme yapmadan doğrudan elde etmeliyiz. Yetmişin çarpanları iki, beş, yedi demiştik. Kalan boşlukları çarpımı değiştirmeden nasıl doldurabiliriz?

Eğer çarpanlarımız iki, beş, yedi ise, çarpımı yetmiş olan beş sayı seçmeliyiz. Kümemizdeki elemanlar pozitif tam sayılar olduğuna göre, çarpımı yetmiş yapan beş elemanı ancak iki, beş, yedi ve geriye kalan iki adet bir çarpanı ile elde edebiliriz. Fakat kümede bir elemanı yok!

O halde soruyu tekrar dikkatle okuyalım. Aralarında çarpma işlemi bulunan yedi daire diyor. Şekilde yan yana beş daire çarpılıyor, altında ise K ve N çarpılıyor. Bunlar bağımsız iki işlem mi?

Eğer üstteki beş dairenin çarpımı yetmiş ise, ve kümede bir elemanı yoksa, çarpımı yetmiş olan ve kümeden seçilen beş farklı sayı bulunamaz. Çünkü en küçük beş sayının çarpımı bile yetmişten çok büyüktür. Demek ki dairelerdeki sayılar birbirinden farklı olmak zorunda değil mi? Soru metnine bakalım: 'her bir dairede bir sayı olacak biçimde yerleştirildiğinde' diyor. Kümenin elemanlarının tamamı yerleştiriliyor, yani her eleman bir kez kullanılıyor!