Kumaş Parçalama Problemi

Merhaba Emine, bu soruda elimizdeki yüz metrelik bir kumaşın üç parçaya bölünüp daha sonra küçük alt parçalara ayrılmasını ve bu küçük parçaların toplamının en fazla kaç olabileceğini inceleyeceğiz.

Kumaşın üç büyük parçasına A, B ve C diyelim. Soruda verilen şartlara göre bu parçaların küçük alt parçaları asal sayı uzunluğunda olmalı.

Birinci parçayı iki eşit parçaya bölüyoruz ve her biri bir asal sayı. Bu asal sayıya p bir diyelim. O halde A eşittir iki çarpı p bir olur.

İkinci parçayı üç eşit parçaya bölüyoruz ve her biri bir asal sayı olan p ikiye eşit. Yani B eşittir üç çarpı p iki.

Üçüncü parçayı ise beş eşit parçaya bölüyoruz. Her biri p üç asal sayısı olsun. C eşittir beş çarpı p üç olur.

Ayrıca soruda elde edilen küçük parçaların uzunluklarının birbirinden farklı olduğu söylenmiş. Yani p bir, p iki ve p üç birbirinden farklı asal sayılar olmalı.

Şimdi denklemimizi yeniden yazalım. İki p bir artı üç p iki artı beş p üç toplamı yüz metreye eşit olmalı.

Bizden istenen, satılan toplam kumaşın yani p bir artı p iki artı p üç toplamının en fazla olması.

Toplamın en büyük olması için katsayısı küçük olan p bir ve p iki değerlerini olabildiğince büyük, katsayısı en büyük olan p üç değerini ise olabildiğince küçük seçmeliyiz.

En küçük farklı asal sayılardan başlayalım. Eğer p üç değerini iki seçersek bakalım neler oluyor.

Beş kere iki on eder. Yüzden çıkardığımızda geriye iki p bir artı üç p iki eşittir doksan kalır.

Burada p bir ve p ikinin p üçten farklı olması gerektiğini unutmayalım. Toplamı maksimize etmek için p iki seçimine bakalım.

Eğer p ikiyi yirmi üç seçersek, üç kere yirmi üç altmış dokuz yapar. Doksandan altmış dokuzu çıkarırsak yirmi bir kalır ki bu ikiye tam bölünmez. Çift bir sayı elde etmeliyiz.

O zaman p ikiyi bir sonraki asal sayı olan on dokuz seçelim. Üç kere on dokuz elli yedi yapar. Doksan eksi elli yedi ise otuz üçtür. Yine çift değil.

Denemeye devam edelim. p ikiyi on yedi seçersek üç kere on yedi elli bir eder. Doksan eksi elli bir otuz dokuzdur, yine olmaz.

p ikiyi on üç seçersek, üç kere on üç otuz dokuzdur. Doksan eksi otuz dokuz elli bir yapar. Yine uygun değil.

Başka bir strateji deneyelim. p üçü üç olarak seçelim. Bu durumda iki p bir artı üç p iki artı on beş eşittir yüz olur.

Yani iki p bir artı üç p iki eşittir seksen beş olmalı.

Burada p bir ve p ikinin toplamını büyük yapmak için yaklaşıyoruz. p ikiyi yirmi üç seçersek üç kere yirmi üç altmış dokuzdur. Seksen beş eksi altmış dokuz on altı yapar.

On altıyı ikiye böldüğümüzde p bir sekiz çıkar ancak sekiz asal değildir. p ikiyi değiştirelim.

p ikiyi on yedi seçersek üç kere on yedi elli birdir. Seksen beşten elli biri çıkarınca otuz dört kalır.

Otuz dördü ikiye bölersek p bir on yedi çıkar. Ancak tüm asal sayıların birbirinden farklı olması gerekiyordu. p bir ve p iki aynı olamaz.