Kübik Fonksiyonun Katsayılarını Bulma

Merhaba Elif, bu videoda seninle birlikte çok güzel bir AYT matematik sorusu çözeceğiz. Hazırsan başlayalım.

Bize üçüncü dereceden bir f fonksiyonu verilmiş. f(x) eşittir x küp artı b x kare artı c x artı on sekiz. f(x) eşittir sıfır denkleminin iki farklı reel kökü olduğu söyleniyor.

Ayrıca, f(x) küçük eşittir sıfır eşitsizliğinin çözüm kümesi eksi sonsuz ile eksi iki kapalı aralığı olarak verilmiş.

Şimdi bu bilgileri yorumlayalım. f(x) üçüncü dereceden bir polinomdur ve baş katsayısı bir, yani pozitiftir.

Üçüncü dereceden bir polinomun en fazla üç reel kökü olabilir. Soruda bize tam olarak iki farklı reel kökü olduğu söylenmiş.

İki farklı reel kök olması, bu köklerden birinin tek katlı, diğerinin ise çift katlı yani teğet bir kök olduğunu gösterir.

Köklerimizi inceleyelim. Çözüm kümesinin eksi sonsuzdan eksi ikiye kadar olması, x eşittir eksi iki noktasında f fonksiyonunun sıfır olduğunu söyler. Yani eksi iki kesinlikle bir köktür.

Eğer eksi iki çift katlı kök olsaydı, f(x) eşittir x artı iki'nin karesi çarpı x eksi k şeklinde yazılırdı. Gelin bu durumu inceleyelim.

Bu durumda x artı iki'nin karesi her zaman sıfırdan büyük veya eşit olacağından, f(x) küçük eşittir sıfır eşitsizliğinin çözüm kümesi eksi sonsuz ile k aralığı olurdu.

Çözüm kümesinin eksi sonsuz ile eksi iki aralığı olması için k'nin eksi ikiye eşit olması gerekirdi. Fakat bu durumda tek bir kök olurdu, oysa bizim iki farklı kökümüz olmalı. Demek ki eksi iki çift katlı kök olamaz.

Öyleyse, eksi iki tek katlı kök olmalıdır. Diğer kökümüz olan k ise çift katlı köktür. f(x) fonksiyonunu bu şekilde yazalım.

Gelin bu durumu bir işaret tablosuyla görselleştirelim. k sayısı eksi ikiden büyük olsun veya küçük olsun, işaret tablomuz her zaman eksi iki sınırında yön değiştirecektir.