2023 AYT Polinom Sorusu

Merhaba Şerife, bu güzel AYT sorusunu birlikte adım adım çözelim. İlk olarak verilen polinomumuzu ve P bir eşittir sıfır bilgisini inceleyelim.

P bir eşittir sıfır olduğu için, polinomda x yerine bir yazarak a ve b arasındaki ilişkiyi bulabiliriz.

Buradan bir artı a artı b eksi iki eşittir sıfır elde ederiz. Bu denklemi düzenleyerek b'yi a cinsinden yazalım.

Yani b, bir eksi a değerine eşittir. Şimdi bu b değerini polinomda yerine koyalım.

b yerine bir eksi a yazdığımızda polinomumuz x küp artı a x kare artı parantez içinde bir eksi a çarpı x eksi iki haline gelir.

P bir eşittir sıfır olduğu için, x eksi bir bu polinomun bir çarpanıdır. Polinomu x eksi bir çarpı ikinci dereceden bir ifade şeklinde yazabiliriz.

Buradaki k sabitini bulmak için sağ tarafı dağıtalım ve katsayıları karşılaştıralım.

x kareli terimin katsayısına bakarsak, k eksi bir eşittir a olmalıdır. Buradan k eşittir a artı bir buluruz.

Böylece polinomumuzun çarpanlara ayrılmış son halini elde etmiş oluruz.

Şimdi ikinci adıma geçelim. Soruda polinomun sadece bir tane gerçel kökü olduğu söyleniyor. Bu kök de zaten x eşittir birdir.

O halde, sağdaki ikinci dereceden çarpanın, yani x kare artı a artı bir x artı iki ifadesinin yeni bir gerçel kök getirmemesi gerekir.