Dördüncü Dereceden Polinom Problemi

Merhaba arkadaşlar. Bu videoda dördüncü dereceden bir polinom sorusunu birlikte çözeceğiz. Sorumuzu dikkatlice inceleyerek işe koyulalım.

Her x gerçel sayısı için P(x) büyük eşittir x eşitsizliği verilmiş. Bu ifadeyi daha rahat analiz etmek için x'i sol tarafa atarak yeni bir fonksiyon tanımlayalım.

Eşitsizliğe göre g(x) her zaman sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olmalıdır.

Ayrıca P(x) dördüncü dereceden bir polinom olduğu için, g(x) de yine dördüncü dereceden bir polinomdur.

Şimdi soruda bize verilen değerleri g(x) fonksiyonunda yerine yazalım ve kökleri bulmaya çalışalım.

İlk olarak P(1) eşittir 1 bilgisi verilmiş. x yerine bir yazarsak, g(1) eşittir P(1) eksi bir olur. Buradan g(1)'i sıfır buluruz.

İkinci olarak P(3) eşittir 3 verilmiş. x yerine üç yazdığımızda g(3) eşittir P(3) eksi üçten yine sıfır değerine ulaşırız.

Fark ettiyseniz g(x) fonksiyonu daima sıfıra eşit veya büyüktü. Sıfır değerini aldığı x eşittir bir ve x eşittir üç noktaları, bu fonksiyonun minimum noktalarıdır.

Daima pozitif veya sıfır olan polinomlarda, sıfır değerini veren kökler çift katlı kök olmak zorundadır. Aksi takdirde fonksiyon işaret değiştirip negatif tarafa geçerdi.

Çift katlı kökleri bildiğimize göre, dördüncü dereceden olan g(x) polinomunun denklemini genel olarak yazabiliriz.