İkinci Dereceden Polinom Fonksiyonu Sorusu

Merhaba Firdevs, bu güzel AYT matematik sorusunu seninle adım adım çözelim.

Polinomumuzun baş katsayısı bir ve derecesi iki olduğu için, f iks fonksiyonunu genel biçimde yazarak başlayalım.

Şimdi ilk koşulumuzu inceleyelim: f iks artı em iks eksi em eşittir sıfır denkleminin kökleri simetrik iki farklı tam sayıdır.

Yazdığımız f iks ifadesini bu denklemde yerine koyalım.

Denklemi ikse göre düzenleyelim. İks parantezine aldığımızda iks kare artı parantez içinde a artı em carpi iks artı be eksi em eşittir sıfır elde ederiz.

Köklerin simetrik olması, kökler toplamının sıfır olması demektir. Bu durumda iksin katsayısı olan a artı em ifadesi sıfır olmalıdır.

Kökler farklı tam sayılar olduğuna göre, bu köklere eksi ka ve artı ka diyelim. Burada ka pozitif bir tam sayıdır. Kökler çarpımı eksi ka kare olur.

Kökler çarpımı formülünden be eksi em ifadesi eksi ka kareye eşit olmalıdır. Buradan be değerini em eksi ka kare olarak buluruz.

Bulduğumuz a ve be değerlerini yerine koyarsak, f iks fonksiyonunu em ve ka cinsinden yazmış oluruz.

Harika! Şimdi ikinci koşulumuzu ele alalım. f iks artı em iks kucuktur sıfır eşitsizliğini sağlayan beş tane tam sayı varmış.

f iks fonksiyonumuzu bu eşitsizlikte yerine yazıp sadeleştirelim.

Eksi em iks ile artı em iks birbirini götürür. Geriye iks kare artı em eksi ka kare kucuktur sıfır kalır.

Bu eşitsizliği iks kare kucuktur ka kare eksi em şeklinde yazabiliriz.

Bu eşitsizliği sağlayan tam sayıların tam beş tane olması isteniyor. Sıfır merkezli simetrik tam sayılar olacağı için bu değerler eksi iki, eksi bir, sıfır, bir ve iki olmalıdır.

Bu durumun sağlanması için, iki değerinin karesi olan dört, ka kare eksi em değerinden küçük olmalı; üç değerinin karesi olan dokuz ise ka kare eksi em değerine eşit veya büyük olmalıdır.

Şimdi üçüncü koşula geçelim. f iks eksi em iks artı beş em buyuktur sıfır eşitsizliğini sağlamayan sadece bir tane tam sayı varmış.