Kübik Fonksiyonun Ekstremum Değerleri

Selamlar! Bugün birlikte fonksiyonlarda eşitsizlik ve limit kavramlarını içeren güzel bir soruyu çözeceğiz.

Öncelikle bize verilen fonksiyonu ve şartları not edelim. f x eşittir x küp artı altı x kare artı a x artı b.

Soruda verilen kritik bilgi şu: Pozitif sayılar için fonksiyon ikiden büyük, negatifler için ikiden küçük değerler alıyor.

Bu durum bize fonksiyonun sıfır noktasındaki davranışı hakkında çok önemli bir ipucu verir. Fonksiyonun x eşittir sıfıra yaklaşırken ikiden geçmesi gerektiğini anlıyoruz.

Eğer f sıfır ikiden farklı olsaydı, örneğin üç olsaydı, sıfırın hem sağında hem solunda üç civarında, yani ikiden büyük değerler alırdı. Bu da şartı bozardı.

b değerini iki bulduk. Şimdi fonksiyonu güncelleyelim ve diğer şartı inceleyelim.

Verilen şart, yani x pozitifken f x in ikiden büyük olması ve x negatifken ikiden küçük olması, fonksiyonun sıfır civarında ve genel olarak artan bir eğilimde olduğunu gösterir.

Eğer fonksiyonun yerel bir ekstremum noktası olsaydı ve bu nokta grafiği iki değerinin altına veya üstüne düşürseydi şartımız bozulurdu. Bu yüzden fonksiyon daima artan olmalıdır.

Şimdi fonksiyonun türevini alalım. x küpün türevi üç x kare, altı x karenin türevi on iki x ve a x in türevi ise a'dır.