Köklü Sayı Yerleştirme Problemi

Merhaba sevgili öğrenciler. Bu soruda bize beş adet köklü sayı verilmiş. Bu sayılardan dört tanesini kutuların içine yerleştireceğiz ve işlemin sonucu bir tam sayı olacak. Dışarıda kalan sayıyı bulalım.

İlk olarak bize verilen köklü sayıları daha kolay görebilmek için a kök b şeklinde yazalım. Sayılarımızı listeleyelim.

Şimdi verilen işlem şablonuna bakalım. İki tane parantezin çarpımı var. Birinci parantezde fark işlemi, ikinci parantezde ise toplam işlemi yapılıyor.

Kök içleri aynı olan sayıları kendi aralarında gruplayalım. Kök iki olanlar sekiz, otuz iki ve ellinin kökleridir. Yani iki kök iki, dört kök iki ve beş kök iki.

Kök üç olanlar ise on iki ve kırk sekizin kökleridir. Yani iki kök üç ve dört kök üç.

İşlem sonucunun bir tam sayı çıkması için parantezlerin içindeki köklü ifadelerin sadeleşmesi gerekir. İki kare farkı özdeşliğini hatırlayalım.

Eğer kutulara a ve b sayılarını yerleştirirsek, yani birinci paranteze a eksi b, ikinci paranteze a artı b yazarsak, sonuç a kare eksi b kare olur. Bu da kökleri yok eder ve sonucu bir tam sayı yapar.

Bu durumda aynı iki sayıyı hem çıkarma hem de toplama işleminde kullanmalıyız. Ancak elimizde beş farklı sayı var ve biz bunlardan dört tanesini seçip her kutuya birer tane yerleştireceğiz. Demek ki kutulardaki sayılar birbirinden farklı olmalıdır.

O halde çıkarma ve toplama işlemlerinin her birinden köklü kısımları aynı olan sonuçlar elde etmeliyiz ki çarpımları bir tam sayı olsun.

Kök iki olan gruptan üç sayımız var: iki kök iki, dört kök iki ve beş kök iki. Bunlardan ikisini çıkarıp veya toplayıp kök iki elde edebiliriz.

Diğer tarafta kök üç olan gruptan iki sayımız var: iki kök üç ve dört kök üç. Bunları toplarsak altı kök üç elde ederiz.

Birinci parantezden kök üçlü bir şey elde etmek için çıkarma yapalım: dört kök üç eksi iki kök üç, iki kök üç yapar.

Şimdi bu iki grubu eşleştirelim. Çıkarma kısmına kök üçlü sayıları yazalım: dört kök üç eksi iki kök üç, bize iki kök üç sonucunu verir.

Toplama kısmına ise kök üçlü bir sonuç elde edebileceğimiz başka kök üçlü sayı kalmadı. O halde diğer grubu deneyelim.

Çıkarma kısmında kök ikili sayıları kullanalım: beş kök iki eksi dört kök iki, bir kök iki yapar.

Kalan kök ikili sayımız iki kök ikidir. Bunu tek başına toplama kısmına yazamayız çünkü iki kutu var. O yüzden bu kombinasyon da tam sayı vermez.

Gelin kök ikili sayılardan dört kök iki ile iki kök ikiyi çıkaralım. Sonuç iki kök iki olur.

Kalan kök ikili sayımız beş kök ikidir. Bunu kullanamayız. Peki kök üçlü sayıları toplarsak ne olur? Dört kök üç ile iki kök üçü topladığımızda altı kök üç elde ederiz. Bu iki sonucun çarpımı tam sayı yapmaz.

O zaman kök üçlüleri çıkaralım, kök ikilileri toplayalım. Çıkarma kısmına dört kök üç eksi iki kök üç yazalım, sonuç iki kök üç olur.

Toplama kısmına ise kök iki grubundan iki kök iki ile dört kök ikiyi yazıp toplayalım. Sonuç altı kök iki olur.

Şimdi bu iki sonucu çarpalım: iki kök üç çarpı altı kök iki, on iki kök altı yapar. Bu da bir tam sayı değildir.

Harika bir noktayı fark edelim. Parantez içlerinde aynı gruptan sayıları işlemeliyiz. Birinci parantezde kök iki grubundan çıkarma yapalım: beş kök iki eksi iki kök iki, üç kök iki yapar.

İkinci parantezde ise kök iki grubundan toplama yapalım: dört kök iki ile iki kök ikiyi toplarsak altı kök iki yapar. Ancak her sayı bir kez kullanılmalıydı. İki kök iki yani kök sekiz ortak oldu.

Peki kök iki grubundan dört kök iki ve sekiz kök iki yerine, beş kök iki ve sekiz kök iki kullanalım. Beş kök iki artı iki kök iki, yedi kök iki yapar. Beş kök iki eksi iki kök iki ise üç kök iki yapar.