Katsayıları Tam Sayı Olan Polinom Sorusu

Merhaba arkadaşlar, tam sayı katsayılı polinomlarla ilgili bu güzel soruyu birlikte çözelim. Sorumuzda katsayıları tam sayı olan bir P x polinomu için iki tane kök verilmiş ve en küçük dereceli, en küçük pozitif baş katsayılı polinomda P eksi bir değeri soruluyor.

P x polinomunun katsayıları tam sayı ise, eğer köklerden biri a artı kök b formundaysa, eşleniği de kök olmak zorundadır. Ancak burada köklerimiz rasyonel bir sayının karekökü şeklinde.

Bize verilen ilk kökü inceleyelim. x eşittir kök iki bölü iki olarak verilmiş.

Katsayıları tam sayı yapmak için her iki tarafın karesini alalım. x kare eşittir iki bölü dört, yani bir bölü iki olur.

Buradan içler dışlar çarpımı yaparsak iki x kare eksi bir eşittir sıfır denklemini elde ederiz. Bu ifade tam sayı katsayılı bir polinom çarpanıdır.

Şimdi ikinci kökümüze bakalım. x eşittir kök üç bölü iki olarak verilmiş.

Yine her iki tarafın karesini aldığımızda, x kare eşittir üç bölü dört sonucuna ulaşırız.

Paydadan kurtulmak için düzenlediğimizde dört x kare eksi üç eşittir sıfır denklemini buluruz.