Katsayıları {0, 1, 2, ..., 9} kümesinden olan polinom sorusu

Merhaba! Bu soruda, katsayıları sıfırdan dokuza kadar rakamlardan oluşan ve bir kökü eksi iki bölü üç olan ikinci dereceden polinomların sayısını bulacağız.

İkinci dereceden genel bir polinomu a x kare artı b x artı c şeklinde yazabiliriz.

Buradaki katsayı kümemiz sıfır, bir, iki, ve devam ederek dokuza kadar olan rakamlardır. İkinci dereceden olması için 'a' katsayısının sıfır olamayacağını biliyoruz.

Soruda verilen kökü yerine yazalım. P eksi iki bölü üç değerinin sıfıra eşit olması gerekir.

Polinomda x yerine eksi iki bölü üç yazarsak; a çarpı eksi iki bölü üçün karesi, artı b çarpı eksi iki bölü üç, artı c eşittir sıfır denklemini elde ederiz.

Kare almayı yapalım. Eksi iki bölü üçün karesi dört bölü dokuz eder.

Şimdi paydaları eşitlemek için denklemi dokuz ile çarpalım.

Bu denklemi katsayılar arasındaki ilişkiyi daha iyi görebilmek için altı b'yi karşıya atarak düzenleyelim.

Elimizdeki denklem dört a artı dokuz c eşittir altı b. Şimdi a, b ve c katsayıları için uygun değerleri tek tek inceleyelim.

Önce c eşittir sıfır durumuna bakalım. Bu durumda dört a eşittir altı b elde ederiz.

Sadeleştirirsek iki a eşittir üç b olur.

a sıfır olamazdı. a eşittir üç için b eşittir iki olur. İkisi de rakamdır, bu bir çözümdür.

a eşittir altı için b eşittir dört olur. Bu da uygundur.

a eşittir dokuz için b eşittir altı olur. Buradan üç farklı polinom bulduk.

Şimdi c eşittir bir durumunu inceleyelim. Denklemimiz dört a artı dokuz eşittir altı b olur.

Burada altı b ve dokuz sayıları üçün katıdır, dolayısıyla dört a'nın da üçün katı olması gerekir. Bu da a'nın üçün katı olması demektir.