Kartezyen Çarpım ve Küme Eleman Sayısı

Selam Büşra! Bu küme sorusunda kartezyen çarpımı ve birleşim kümesinin eleman sayısı üzerinden a artı b'nin alabileceği değerleri bulacağız.

A ve B kümelerinin kartezyen çarpımı olan A çarpı B kümesinin elemanlarını yazalım.

Şimdi de C çarpı A kümesini oluşturalım.

Bu iki kümenin birleşiminin eleman sayısı beş olarak verilmiş. Normalde her kümede üç eleman var, toplamda altı eleman olması gerekirdi.

Eğer birleşim beş elemanlıysa, bu kümelerin kesişiminde tam olarak bir tane ortak eleman bulunmalıdır.

Yani kesişim kümesinin eleman sayısı bir olmalı. Kümelerdeki elemanlara bakarak bu ortak elemanı belirleyelim.

Ortak eleman, bir sıralı ikili olmalı. A çarpı B'deki elemanların hepsi virgülden sonra a içerirken, C çarpı A'dakiler b ile başlıyor.

Bir elemanın ortak olması için ilk bileşenlerin ve ikinci bileşenlerin kendi aralarında eşleşmesi gerekir. Sadece üç durum mümkündür.

Bu durumda b eşittir iki ve a eşittir iki olmalıdır. Ancak soruda a ve b birbirinden farklı dendiği için bu durumu elemiyoruz.

İkinci durumu değerlendirelim: üç virgül a ile b virgül üç aynı eleman olsun.

Buradan b eşittir üç ve a eşittir üç çıkar. Yine a ve b birbirine eşit olduğu için bu da elenir.