Kartezyen Çarpım Kümesi Eleman Analizi

MathematicsKüme TeorisiZorYKS

Yayınlanma:

Soru

10. $A \subseteq C \subseteq B$ şartını sağlayan A, B ve C kümeleri için $B \times A = \{(1, 2), (2, 3), (3, 4)\}$, $s(B \times C) = 20$, $s(C \times A) = 12$ eşitlikleri veriliyor. Rüya Öğretmen, öğrencileri için hazırladığı bir soruyu yazıcıdan çıkarırken bir sorun yaşıyor ve çıkarttığı kâğıt üzerinde $B \times A$ kümesinin sadece üç elemanını görebiliyor. Rüya Öğretmen, bu kâğıda aşağıdaki bilgileri ekleyerek oluşturduğu yeni soruyu öğrencilerine soruyor: "Buna göre I. (1, 1), II. (2, 1), III. (5, 5) sıralı ikililerinden hangileri $(B \setminus A) \times (B \setminus C)$ kümesinin bir elemanı olabilir?" Buna göre Rüya Öğretmen'in öğrencilerine sorduğu sorunun doğru cevabı aşağıdakilerden hangisidir? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve III E) I, II ve III

Animasyonlu Video Çözüm

İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.

Adım Adım Yazılı Çözüm

1
Adım 1

Merhaba Beyza, bu güzel kümeler sorusunu birlikte adım adım çözelim. İlk olarak soruda bize verilen bağıntıları ve koşulları inceleyelim.

Verilen Bilgiler

$$A \subseteq C \subseteq B$$
2
Adım 2

Küme eleman sayıları arasında bu alt küme ilişkisinden dolayı, A nın eleman sayısı, C nin eleman sayısından küçük veya eşittir. O da B nin eleman sayısından küçük veya eşittir diyebiliriz.

$$s(A) \le s(C) \le s(B)$$
3
Adım 3

Şimdi bize verilen diğer iki eşitliği yazalım. B çarpı C kartezyen çarpımının eleman sayısı yirmi olarak verilmiş.

$$s(B \times C) = s(B) \cdot s(C) = 20$$
4
Adım 4

Benzer şekilde, C çarpı A kartezyen çarpımının eleman sayısı da on iki olarak verilmiş.

$$s(C \times A) = s(C) \cdot s(A) = 12$$
5
Adım 5

Yeni bir sayfaya geçip, bu iki denklemi ortak çözelim. Dikkat ederseniz, C nin eleman sayısı hem yirminin hem de on ikinin ortak bir böleni olmalıdır.

Eleman Sayılarının Belirlenmesi

$$s(B) \cdot s(C) = 20$$
$$s(C) \cdot s(A) = 12$$
6
Adım 6

Yirmi ve on ikinin pozitif ortak bölenleri bir, iki ve dört olabilir. Bu durumları tek tek inceleyelim.

Ortak bölenler: 1, 2, 4

7
Adım 7

Eğer C nin eleman sayısı bir olsaydı, A nın eleman sayısı on iki olurdu. Ancak A nın eleman sayısı C den küçük veya eşit olmalıydı. Bu durumda çelişki elde ederiz.

$$s(C) = 1 \implies s(A) = 12 \quad (\text{Çelişki: } s(A) \le s(C))$$
8
Adım 8

Eğer C nin eleman sayısı iki olsaydı, A nın eleman sayısı altı olurdu. Yine altı, ikiden küçük veya eşit olmadığı için çelişki yaşarız.

$$s(C) = 2 \implies s(A) = 6 \quad (\text{Çelişki: } s(A) \le s(C))$$
9
Adım 9

Geriye kalan tek durum olan dörtü inceleyelim. Eğer C nin eleman sayısı dört ise, A nın eleman sayısı üç, B nin eleman sayısı ise beş olur. Bu durum tüm koşulları sağlar.

$$s(C) = 4 \implies s(A) = 3 \quad \text{ve} \quad s(B) = 5$$
10
Adım 10

Bulduğumuz bu önemli sonuçları buraya kaydedelim ve şimdi de kümelerin elemanlarını belirlemeye başlayalım.

Kümelerin Elemanları

11
Adım 11

Öğretmenin kağıdında B çarpı A kümesinin üç elemanı görünüyordu. Bu elemanlar bir virgul iki, iki virgul üç ve üç virgul dörttür.

$$B \times A \supseteq \{(1, 2), (2, 3), (3, 4)\}$$
12
Adım 12

Kartezyen çarpımın tanımından dolayı, birinci bileşenler B kümesine, ikinci bileşenler ise A kümesine aittir.

$$1, 2, 3 \in B \quad \text{ve} \quad 2, 3, 4 \in A$$
13
Adım 13

A kümesinin eleman sayısının üç olduğunu biliyoruz. Bulduğumuz iki, üç ve dört elemanları doğrudan A kümesini oluşturur.

$$A = \{2, 3, 4\}$$

Çözümün devamı Solvi’de

13 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.

Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.

App Store’dan indir Google Play’den edin

İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye

100K+Her gün çözülen soru
50K+Öğrenen öğrenci
4.8 ★App Store puanı

Soru Bilgileri

Ders
Mathematics
Konu
Küme Teorisi
Zorluk
Zor
Sınav
YKS
Soru Tipi
Çoktan Seçmeli

Benzer Sorular

Farklı Küme Özelliği Sorusu Küme Teorisi · Orta Kümelerde Kartezyen Çarpım İşlemi Küme Teorisi · Orta Küme Kesişimi ve İsim Harfleri Sorusu Küme Teorisi · Orta A ve B Kümeleri ile ilgili Soru Küme Teorisi · Orta Küme Kartezyen Çarpımı Sorusu Küme Teorisi · Zor Küme İşlemleri ve Doğruluk Analizi Küme Teorisi · Orta

Her soruyu saniyeler içinde çöz

Fotoğrafını çek, yapay zeka adım adım, sesli ve animasyonlu anlatsın.

App Store’dan indir Google Play’den edin
Solvi
Çözümün devamı uygulamadaİndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
İndir