Kareköklü İfadelerle Uzunluk Problemi

12. a, b, c birer doğal sayı olmak üzere $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}$, $a\sqrt{b} + c\sqrt{b} = (a+c)\sqrt{b}$, $a\sqrt{b} - c\sqrt{b} = (a-c)\sqrt{b}$ dir.

Aşağıdaki oyun parkurunda birbirine paralel olan başlangıç çizgisi ve mavi çizgi arasındaki uzaklık $5\sqrt{3}$ m'dir. Başlangıç çizgisinden Fatih, Yavuz ve Mehmet doğrusal bir çizgi boyunca top yuvarlayacaklardır. Topu, mavi çizgiye en yakın mesafede duran kişi oyunu kazanacaktır.

[Visual: A diagram showing Start line and Blue line at $5\sqrt{3}$m distance]

Oyunun sonunda Fatih'in yuvarladığı topun durduğu noktanın mavi çizgiye uzaklığı $\sqrt{3}$ m, Yavuz'un yuvarladığı topun durduğu noktanın başlangıç çizgisine uzaklığı ise $3\sqrt{3}$ m'dir. Bu durumda Fatih birinci, Mehmet ikinci ve Yavuz üçüncü olmuştur.

Buna göre, Mehmet'in yuvarladığı topun durduğu noktanın başlangıç çizgisine uzaklığının metre cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) 5 B) 7 C) 10 D) 12

Soruda görsel içerik var: The visual represents a game course with a 'Başlangıç çizgisi' (start line) and a 'Mavi çizgi' (blue line) separated by a distance of $5\sqrt{3}$ meters. A dashed line represents the path of the balls. Below the main diagram, there are two smaller diagrams illustrating two different possible game scenarios labeled '1. durum' and '2. durum', indicating that the balls can stop at different positions relative to these lines.