Kareköklü İfadeler ve Geometrik Kesim Problemi
Yayınlanma:
18. $a, b, c$ birer doğal sayı olmak üzere
$a\sqrt{b} = \sqrt{a^2b}$
$a\sqrt{b} + c\sqrt{b} = (a+c)\sqrt{b}$ dir.
Dikdörtgen şeklindeki bir kâğıt, yukarıdaki gibi kesilerek dikdörtgen şeklinde dört eş parça elde edilmiştir. Bu parçaların kısa kenarları ile uzun kenarları çakıştırılarak aşağıdaki gibi iki farklı şekil oluşturulmuştur.
[Şekil I: 'T' biçiminde yapı, sağ tarafında yüksekliği gösteren bir ok ile $\sqrt{192}$ cm yazmaktadır.]
[Şekil II: 'L' biçiminde yapı. Altında 'Zemin' yazılı kesikli çizgi bulunmaktadır.]
Şekil I'in yüksekliği $\sqrt{192}$ cm ve Şekil II'nin çevresinin uzunluğu $28\sqrt{3}$ cm'dir.
Buna göre başlangıçta verilen dikdörtgen şeklindeki kâğıdın bir yüzünün alanı kaç santimetrekaredir?
A) 288
B) 144
C) 96
D) 72
Soruda görsel içerik var: Üstte, dikey kesikli çizgilerle dört eş parçaya bölünmeye hazır bir dikdörtgen görseli vardır. Alt kısımda Şekil I ve Şekil II bulunmaktadır. Şekil I, yan yana duran parçaların bir 'T' formu oluşturduğu, toplam yüksekliği $\sqrt{192}$ cm olan bir yapıdır. Şekil II, 'L' formunda birleşmiş dikdörtgen parçalarını göstermektedir. 'Zemin' yazılı bir kesikli çizgi hizası verilmiştir.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Selam İbrahim, gel bu güzel kareköklü sayılar sorusunu birlikte çözelim. Dikdörtgen bir kağıt dört eş parçaya bölünüyor ve bu parçalarla iki şekil oluşturuluyor.
Dikdörtgen Parçaların Boyutları
Eş parçaların kısa kenarına x, uzun kenarına y diyerek başlayalım.
Şekil birin yüksekliği yüz doksan ikinin karekökü olarak verilmiş. Bu değeri sadeleştirelim.
Şekil bire baktığımızda, bu yüksekliğin bir uzun kenar ile bir kısa kenarın toplamı olduğunu görüyoruz. Yani x artı y sekiz kök üç eittir.
Şimdi ikinci şeklin çevresini inceleyelim. Şekil ikinin çevre uzunluğu yirmi sekiz kök üç olarak verilmiş.
Şekil II Çevre Analizi
Bu L şeklindeki yapının çevresini sayarsak, dışta kalan kenarları topladığımızda iki x artı iki y artı fazladan bazı kısımlar karşımıza çıkar.
Dikkatli bakarsan, bu şeklin çevresi aslında iki tane x artı y toplamına eşittir. Çünkü dikey ve yatay tüm kenarlar birleşince büyük bir dikdörtgenin çevresi gibi davranır. Toplamda iki x artı iki y, yirmi sekiz kök üçe eşit olur.
Buradan x artı y'nin on dört kök üç olması gerektiğini buluruz. Ama bir saniye, ilk şekilden x artı y'nin sekiz kök üç olduğunu bulmuştuk. Buradaki fark nereden geliyor?
Hatamızı düzeltelim İbrahim. Şekil ikinin çevresini tekrar dikkatli sayalım. Bir uzun kenar, bir kısa kenar, diğer uzun kenar, diğer kısa kenar derken aslında çevrede üç tane y ve üç tane x vardır.
Çevreyi Tekrar Sayalım
Şekil ikinin dış hatlarını toplarsak: En altta y, sağda x, üstte y eksi x, ortada y eksi x, solda y ve en üstte x vardır. Bunları topladığımızda çevre üç y artı x olur.
Şimdi iki denklemimiz var. Birincisi x artı y sekiz kök üç, ikincisi x artı üç y yirmi sekiz kök üç.
Alttaki denklemden üsttekini çıkarırsak, x'ler gider ve iki y on iki kök üç kalır.
Böylece y değerini on kök üç olarak buluruz.
Y on kök üç ise, x artı y sekiz kök üç olamaz. O zaman Şekil birdeki y harfimiz dikey olan uzun kenar değilmiş. Tekrar bakalım.
İbrahim, Şekil birde dikey parça uzun kenar yani y, yatay parça ise kısa kenarı üzerine konmuş. Yükseklik y artı x değil, y artı x'in yarısı veya benzeri bir durum olabilir.
Görsel Analiz - Düzeltme
Şekil 1 yüksekliği: $y + x = 8\sqrt{3}$
Çözümün devamı Solvi’de
14 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
