Kare ve Fonksiyon Teğetliğinde Türev Hesaplama
Yayınlanma:
4. Kare biçimindeki bir kâğıt ağırlık merkezi orijine gelecek biçimde dik koordinat düzlemine yerleştirilmiştir. Kâğıdın kenarlarına A ve B noktalarında teğet olan f ve g fonksiyonları ile ilgili
- $f$ ikinci dereceden polinom fonksiyondur.
- $g(-5) = 0, \ g'(a) = -3$
bilgileri veriliyor.
Buna göre, $f'(5)$ kaçtır?
A) 1
B) $\frac{3}{2}$
C) $\frac{4}{3}$
D) $\frac{5}{3}$
E) 2
Soruda görsel içerik var: Dik koordinat düzleminde, merkezi orijin (O) olan eğik duran sarı renkli bir kare verilmiştir. Karenin üst kenarına f(x) fonksiyonu (mavi eğri) A noktasında teğet, sağ kenarına ise g(x) fonksiyonu (kırmızı eğri) B(a, g(a)) noktasında teğettir. x-ekseni ve y-ekseni orijinde kesişmektedir. Karenin kenarları koordinat eksenlerine paralel değildir; belirli bir açıyla döndürülmüştür. A noktası alt kenarın üzerinde y-ekseni doğrultusuna yakın bir yerdedir. B noktası ise sağ kenar üzerindedir.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Bu soruda, merkezi orijinde olan kare biçiminde bir kâğıt ve kenarlarına teğet olan f ve g fonksiyonları verilmiş. Bizden f'in türevinin 5 noktasındaki değeri isteniyor.
Verilenler
* Kare merkezi $O(0,0)$
* $f(x)$ 2. derece polinom
* $g(-5)=0$, $g'(a)=-3$
* Hedef: $f'(5) = ?$
Öncelikle karenin kenar eğimlerini bulalım. B noktası karenin bir kenarı üzerinde ve g fonksiyonu bu noktada kenara teğet. Yani o kenarın eğimi, g'nin o noktadaki türevine, yani -3'e eşittir.
Karenin kenarları birbirine dik olduğundan, diğer kenarların eğimi bu değerin negatif tersi, yani 1 bölü 3 olacaktır. O halde karenin kenar eğimleri -3 ve 1 bölü 3'tür.
Şimdi A noktasına bakalım. f fonksiyonu y ekseni üzerindeki A noktasında karenin alt kenarına teğet. Görselden ve geometrik konumdan A noktasından geçen kenarın eğiminin pozitif, yani 1 bölü 3 olduğunu anlıyoruz.
Şimdi karenin boyutunu belirleyelim. g fonksiyonunun kökü -5 olarak verilmiş. Şekildeki simetri ve tam sayı değerleri göz önüne alındığında, karenin sol üst kenar uzantısının x eksenini -5 noktasında kestiğini varsayabiliriz.
Eğim $m=1/3$, x-keseni $-5$ ise:
$y = \frac{1}{3}(x - (-5)) \Rightarrow y = \frac{x+5}{3}$
Bu doğrunun y eksenini kestiği nokta 5 bölü 3 olur. Kare orijine göre simetrik olduğu için, alttaki A noktası y eksenini -5 bölü 3 noktasında keser. Yani f(0) değeri eksi 5 bölü 3'tür.
Elimizdeki bilgileri toparlayalım. f ikinci dereceden bir polinom. f üssü sıfır, yani x'li terimin katsayısı, 1 bölü 3. Sabit terim ise A noktasından dolayı eksi 5 bölü 3.
$f(x) = ax^2 + bx + c$
Grafikte f fonksiyonunun da, g gibi x eksenini -5 noktasında kestiği görülüyor. Bu 5 sayısı problemin anahtarı. f(-5) eşittir 0 şartını kullanalım.
Çözümün devamı Solvi’de
8 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
