İntegralde Değişken Değiştirme Yöntemi

Question

3. $\int (x^2 \cdot \sqrt{x+1})dx$ integralinde $x+1 = u^2$ dönüşümü yapılırsa oluşan integral aşağıdakilerden hangisi olur?

A) $\int (u^3 - u)^2 du$

B) $\int u \cdot (u^2 - 1)^3 du$

C) $2 \int u \cdot (u^2 - 1)^2 du$

D) $2 \int (u^3 - u)^2 du$

E) $\frac{1}{2} \int (u^3 - u^2)^2 du$

Solvi · Accepted Answer

Selam Melisa, seninle birlikte bu integral sorusunu değişken değiştirme yöntemiyle çözelim. Bize verilen integral, x kare çarpı karekök içinde x artı birin x'e göre integrali. Soruda x artı bir eşittir u kare dönüşümü yapmamız istenmiş. Öncelikle dönüşüm ifademizi yazalım: x artı bir eşittir u kare. Bu ifadeden yola çıkarak x ve d x değerlerini u cinsinden bulmalıyız. x'i yalnız bırakırsak, artı bir karşıya eksi bir olarak geçer ve x eşittir u kare eksi bir elde ederiz. Şimdi her iki tarafın türevini alarak d x'i bulalım. x'in türevi d x, u kare eksi birin türevi ise iki u d u olur. Ayrıca karekök içindeki x artı bir ifadesine bakalım. x artı bir u kareye eşitse, karekök x artı bir, karekök u kareden u olarak dışarı çıkar. Şimdi bulduğumuz tüm bu u cinsinden değerleri orijinal integralde yerine koyalım. Orijinal integralde x kare yerine, u kare eksi birin karesini yazıyoruz.

İntegralde Değişken Değiştirme Yöntemi

Animasyonlu Video Çözüm

Adım Adım Yazılı Çözüm