İntegralde Değişken Değiştirme

Question

$$\int \frac{\sqrt[4]{x}-x}{\sqrt[3]{x}} dx$$ integrali için $x = t^{12}$ dönüşümü yapılınca oluşan integral aşağıdakilerden hangisidir? A) $\frac{1}{12} \int (t^{10} - t^{19}) dt$ B) $6 \int (t^3 - t^{12}) dt$ C) $\frac{1}{12} \int (t^3 - t^{12}) dt$ D) $12 \int (t^{10} - t^{19}) dt$ E) $\int (t^{12} - t^{10}) dt$

Solvi · Accepted Answer

Selam Dilara, bu integral sorusunu değişken değiştirme yöntemi kullanarak adım adım çözelim. Soruda bizden x eşittir t üzeri on iki dönüşümünü yapmamız istenmiş. İlk olarak bu ifadenin her iki tarafının türevini alarak diferansiyelini bulalım. Türev aldığımızda dx eşittir on iki çarpı t üzeri on bir dt elde ederiz. Bu, integraldeki dx yerine yazacağımız ifadedir. Şimdi integralin içindeki köklü ifadeleri t cinsinden yazalım. x yerine t üzeri on iki yazıyoruz. Ayrıca pay kısmındaki x terimi doğrudan t üzeri on ikiye eşittir. Bulduğumuz tüm bu değerleri orijinal integralde yerlerine koyalım. Dönüşümleri uyguladığımızda, pay kısmında t küp eksi t üzeri on iki, paydada ise t üzeri dört olur. Yanına da diferansiyel kısmını ekliyoruz.

İntegralde Değişken Değiştirme

Animasyonlu Video Çözüm

Adım Adım Yazılı Çözüm