Integral ve Türev İlişkisi Sorusu

MathematicsIntegrationZorYKS

Yayınlanma:

Soru

24. Gerçel sayılar üzerinde tanımlı ve sürekli $y = f(x)$ fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibidir.

[Grafik: x eksenini -2 noktasında kesen ve (0,2) noktasından geçen bir doğru ile x>0 için y=2 doğrusu]

Buna göre,

$$\int_{-1}^{3} x \cdot f'(x) \, dx - \int_{3}^{-1} f(x) \, dx$$

ifadesinin eşiti kaçtır?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

Soruda görsel içerik var: Bir koordinat düzleminde y=f(x) fonksiyonunun grafiği gösterilmiştir. Grafik, x=-2 noktasında x-eksenini kesen bir doğru parçası ile x=0'dan itibaren y=2 değerini alan sabit bir doğrudur. Fonksiyon y eksenini (0,2) noktasında kesmektedir. x=-2'den 0'a kadar f(x) fonksiyonu lineer artış göstermektedir. x > 0 için f(x) = 2'dir.

Animasyonlu Video Çözüm

İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.

Adım Adım Yazılı Çözüm

1
Adım 1

Merhaba Firdevs, bu AYT tarzı integralli grafik sorusunu adım adım çözelim.

Grafikten Fonksiyonu Okuma

2
Adım 2

Grafiğe baktığımızda, eksi iki ile sıfır noktaları arasında eğimi bir olan doğrusal bir parça görüyoruz.

$$f(x)=x+2 \quad (x\leq 0)$$
3
Adım 3

Sıfırdan sonra ise fonksiyon sabit ve değeri iki.

$$f(x)=2 \quad (x\geq 0)$$
4
Adım 4

Soruda dikkat edilmesi gereken nokta, ilk integralde türev bulunmasıdır. Yani x çarpı f türevi integrali hesaplanacak.

$$\int_{-1}^{3} x\,f'(x)\,dx-\int_{3}^{-1} f(x)\,dx$$
5
Adım 5

Önce f türevini parçalı olarak bulalım.

Türevi Belirleme

$$f'(x)=\begin{cases}1,&x<0\\0,&x>0\end{cases}$$
6
Adım 6

Çünkü soldaki doğru parçasının eğimi bir, sağdaki sabit kısmın eğimi ise sıfırdır.

eğim = 1eğim = 0
7
Adım 7

Şimdi ilk integrali hesaplayalım.

Birinci İntegral

$$\int_{-1}^{3} x\,f'(x)\,dx$$
8
Adım 8

Sıfır ile üç arasında türev sıfır olduğu için o bölgeden katkı gelmez.

$$\int_{-1}^{0} x\cdot 1\,dx+\int_{0}^{3} x\cdot 0\,dx$$
9
Adım 9

İkinci integral doğrudan sıfır olur.

$$\int_{0}^{3} x\cdot 0\,dx=0$$
10
Adım 10

Geriye sadece eksi bir ile sıfır arasındaki x integrali kalır.

$$\int_{-1}^{0} x\,dx$$
11
Adım 11

İntegralini alırsak x kare bölü iki elde ederiz.

$$\left[\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{0}$$

Çözümün devamı Solvi’de

10 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.

Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.

App Store’dan indir Google Play’den edin

İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye

100K+Her gün çözülen soru
50K+Öğrenen öğrenci
4.8 ★App Store puanı

Soru Bilgileri

Ders
Mathematics
Konu
Integration
Zorluk
Zor
Sınav
YKS
Soru Tipi
Çoktan Seçmeli

Benzer Sorular

Türev Verilen Fonksiyonun İntegrali Integration · Orta Belirli İntegral Hesabı Integration · Orta Mavi ve Sarı Bölge Alanları Oranı Integration · Zor Area between curves in coordinate plane Integration · Zor Indefinite Integral Calculation Integration · Orta Belirli İntegral Değişken Değiştirme Sorusu Integration · Zor

Her soruyu saniyeler içinde çöz

Fotoğrafını çek, yapay zeka adım adım, sesli ve animasyonlu anlatsın.

App Store’dan indir Google Play’den edin
Solvi
Çözümün devamı uygulamadaİndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
İndir