Area between curves in coordinate plane

Merhaba Büşra, bu videoda seninle birlikte harika bir integral ile alan hesabı sorusu çözeceğiz. Öncelikle grafiğimizi ve verilen bilgileri inceleyelim.

Sarı boyalı bölgenin yani A iki alanının sınırlarını bulabilmek için, öncelikle yeşille gösterilen eğrimiz olan ye eşittir karekök x in ye eşittir iki doğrusuyla kesiştiği noktayı bulmalıyım.

Eşitliğin her iki tarafının karesini aldığımızda, kesişim noktasının apsisini x eşittir dört olarak elde ederiz.

Harika! Demek ki sarı alanın sol sınırı x eşittir dört, sağ sınırı ise grafikten gördüğümüz gibi x eşittir dokuzdur. Grafiğimizi de burada şematik olarak görebiliriz.

Şimdi sarı boyalı bölgenin alanını hesaplayalım. A iki alanı, x eşittir dörtten dokuza kadar, üstteki eğri olan karekök x ile alttaki ye eşittir iki doğrusu arasında kalan bölgedir.

Karekök x in integrali iki bölü üç çarpı x üzeri üç bölü iki, eksi ikinin integrali ise iki x tir. Sınırlarımız dörtten dokuza kadardır.

Öncelikle üst sınır olan dokuz değerini ve ardından alt sınır olan dört değerini yerine yazalım.

Dokuz üzeri üç bölü iki, yirmi yedi yapar. Dört üzeri üç bölü iki ise sekiz yapar. Şimdi bu değerleri yerine yazalım.

İlk parantezin içi on sekiz eksi on sekizden sıfır olur. İkinci parantez ise on altı bölü üç eksi sekizden eksi sekiz bölü üç yapar.

Buradan A iki alanını sekiz bölü üç olarak buluruz.

Şimdi de mavi bölgenin alanını, yani A bir değerini hesaplayalım. A bir alanı, sıfırdan dokuza kadar, üstteki ye eşittir a karekök x eğrisi ile alttaki ye eşittir karekök x eğrisi arasında kalan bölgenin alanıdır.