İntegral ve Türev İlişkisi Sorusu

MathematicsIntegral CalculusZorYKS

Yayınlanma:

Soru

Gerçel sayılar kümesinde türevlenebilen f fonksiyonu için $f(0) = f(1)$ ve $f'(1) = 10$ eşitlikleri veriliyor. $g(x) = \int x \cdot f''(x) \, dx$ olduğuna göre, $g(1) - g(0)$ farkı kaçtır?

Animasyonlu Video Çözüm

İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.

Adım Adım Yazılı Çözüm

1
Adım 1

Merhaba Sıla, gel bu soruyu birlikte çözelim. İlk olarak soruda bize verilen bilgileri tahtaya yazarak işe başlayalım.

Verilen Bilgiler

$$f(0) = f(1)$$
$$f'(1) = 10$$
2
Adım 2

Ardından bize g iks fonksiyonunun integralli tanımı verilmiş ve g bir eksi g sıfır farkının ne olduğu soruluyor.

$$g(x) = \int x \cdot f''(x) \, dx$$
$$g(1) - g(0) = ?$$
3
Adım 3

g bir eksi g sıfır farkı, aslında g iks fonksiyonunun türevinin sıfırdan bire kadar olan belirli integraline eşittir.

Belirli İntegral İlişkisi

$$g(1) - g(0) = \int_0^1 x \cdot f''(x) \, dx$$
4
Adım 4

İntegralin içindeki ifadeye dikkat edersek, bir çarpım görüyoruz. Bu tür integralleri çözmek için kısmi integrasyon yöntemini kullanırız.

$$\int u \, dv = u \cdot v - \int v \, du$$
5
Adım 5

Şimdi kısmi integrasyon için değişkenlerimizi belirleyelim. Kolay türevlenebilen iks terimine u, kolay integral alabileceğimiz ef'in ikinci türevi iks de iks terimine ise de ve diyelim.

Kısmi İntegrasyon Seçimleri

$$u = x \implies du = dx$$
$$dv = f''(x) \, dx \implies v = f'(x)$$
6
Adım 6

Belirlediğimiz bu terimleri belirli integral formülümüzde yerine yazalım. Böylece integralimiz, x çarpı ef'in birinci türevi iks sınırları sıfırdan bire eksi, sıfırdan bire ef'in türevi iks de iks haline gelir.

$$\int_0^1 x \cdot f''(x) \, dx = \left[ x \cdot f'(x) \right]_0^1 - \int_0^1 f'(x) \, dx$$
7
Adım 7

Şimdi bu iki terimi de ayrı ayrı hesaplayarak işimizi kolaylaştıralım. İlk terimle başlayalım.

Birinci Terimin Hesaplanması

$$\left[ x \cdot f'(x) \right]_0^1 = 1 \cdot f'(1) - 0 \cdot f'(0)$$
8
Adım 8

Burada sıfır çarpı ef'in türevi sıfır ifadesi yutucu elemandan dolayı sıfıra eşit olacaktır. Geriye sadece bir çarpı ef'in türevi bir, yani ef'in türevi bir kalır.

Çözümün devamı Solvi’de

8 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.

Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.

App Store’dan indir Google Play’den edin

İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye

100K+Her gün çözülen soru
50K+Öğrenen öğrenci
4.8 ★App Store puanı

Soru Bilgileri

Ders
Mathematics
Konu
Integral Calculus
Zorluk
Zor
Sınav
YKS
Soru Tipi
Açık Uçlu

Benzer Sorular

f(x) Fonksiyonu ve İntegral Hesaplama Integral Calculus · Zor İntegral Değişken Değiştirme ve Hesaplama Integral Calculus · Zor İntegral ve Fonksiyon Değerini Bulma Integral Calculus · Orta İntegral ve Türev İlişkisi Integral Calculus · Zor Indefinite Integral Calculation Integral Calculus · Orta İki Eğri Arasında Kalan Bölgenin Alanı Integral Calculus · Orta

Her soruyu saniyeler içinde çöz

Fotoğrafını çek, yapay zeka adım adım, sesli ve animasyonlu anlatsın.

App Store’dan indir Google Play’den edin
Solvi
Çözümün devamı uygulamadaİndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
İndir