İntegral ve Türev İlişkisi

Question

24. Tanımlı olduğu yerlerde c sabit sayısı için f fonksiyonu $$\int f(x) \cdot \left( \int f(x) dx \right) dx = x^2 + c$$ eşitliğini sağlamaktadır. Buna göre f fonksiyonunun türevi olan f'(x) fonksiyonunun f(x) türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) $$\frac{f(x) - f^3(x)}{2x}$$ B) $$\frac{2x}{f^3(x) - f(x)}$$ C) $$\frac{f(x) - 2f^3(x)}{2x}$$ D) $$\frac{2x}{f(x) - f^3(x)}$$ E) $$\frac{2f(x) - f^3(x)}{2x}$$

Solvi · Accepted Answer

Merhaba Rabia, bu soruda integral ve türev ilişkisini kullanarak f fonksiyonunun türevinin f türünden eşitini bulacağız. İlk olarak verilen integral denklemini inceleyelim. İşlemlerimizi kolaylaştırmak için integral f x d x ifadesine büyük F x diyelim. Eğer integral f x d x büyük F x ise, her iki tarafın türevini aldığımızda büyük F nin türevi, küçük f x'e eşit olacaktır. Şimdi bu değişken dönüşümünü soruda verilen ana integral eşitliğinde yerine yazalım. Parantez içindeki integral yerine büyük F x yazdığımızda, ifademiz integral f x çarpı büyük F x d x eşittir x kare artı c haline gelir. Bu eşitliğin her iki tarafının x'e göre türevini alarak integralden kurtulalım. Sol tarafın türevi integralin içindeki ifadeyi verir, sağ tarafın türevi ise iki x olur. Çok güzel! Şimdi elde ettiğimiz bu önemli ilişkiyle devam etmek için yeni bir sayfaya geçelim. Bizden f nin türevi istendiği için, bu eşitliğin her iki tarafının x'e göre bir kez daha türevini alacağız. Sol tarafta iki fonksiyonun çarpımı olduğu için çarpımın türevi kuralını uygulamamız gerekir. Hatırlayalım, çarpımın türevi birincinin türevi çarpı ikinci, artı ikincinin türevi çarpı birinci şeklindedir. Bu kuralı sol tarafa…

İntegral ve Türev İlişkisi

Animasyonlu Video Çözüm

Adım Adım Yazılı Çözüm