İntegral ve Türev İlişkisi
Yayınlanma:
Grafikte $y=f(x)$ fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
$$\int_{1}^{4} x \cdot f'(\sqrt{x}) \, dx = 12$$
olduğuna göre $\int_{1}^{2} x^2 \cdot f(x) \, dx$ integralinin değeri kaçtır?
A) 6
B) 10
C) 12
D) 15
E) 20
Soruda görsel içerik var: Bir koordinat düzleminde $y=f(x)$ eğrisi çizilmiştir. Eğri $x=1$ noktasında $y=6$ değerini, $x=2$ noktasında $y=9$ değerini almaktadır. Ayrıca eğri $y$ eksenini $y=2$ noktasında kesmektedir. Kesikli çizgiler, $x=1$ ve $x=2$ noktalarından eğriye ve eksenlere dik iz düşümleri göstermektedir.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Selam Helinakhal, integral ve fonksiyon grafiğini birleştiren bu güzel soruyu birlikte çözelim.
İntegral Hesabı
İlk olarak grafiği inceleyelim ve f fonksiyonunun belirli noktalardaki değerlerini not edelim.
Grafikte x eşittir bir için y'nin altı, x eşittir iki için y'nin dokuz olduğunu açıkça görüyoruz.
Şimdi bize verilen ilk integral ifadesini sadeleştirelim. İçerideki kök x ifadesi işleri karıştırıyor, bu yüzden bir değişken değiştirmesi yapalım.
Değişken Değiştirme:
u eşittir kök x olsun. Bu durumda her iki tarafın karesini alırsak x eşittir u kare olur.
Diferansiyelini alırsak, de x eşittir iki u de u elde ederiz.
İntegral sınırlarını da güncelleyelim. x bir iken u bir olur, x dört iken u iki olur.
Şimdi bu değerleri integrale yerleştirelim. İntegralimiz birden ikiye, u kare çarpı f'in türevi u, çarpı iki u de u şekline dönüşür.
u kare ile u'yu çarparsak u küp elde ederiz ve iki katsayısını dışarı atabiliriz.
Her iki tarafı ikiye böldüğümüzde, birden ikiye u küp çarpı f türev u integralinin altı olduğunu buluruz.
Çözümün devamı Solvi’de
9 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
