Belirli İntegral ve Alan Hesabı
Yayınlanma:
2. Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f fonksiyonunun grafiği dik koordinat düzleminde aşağıda verilmiştir.
[Grafik görüntüsü: $x$ ve $y$ eksenleri üzerinde $A(1, f(1))$ ve $B(6, f(6))$ noktalarını içeren bir eğri bulunmaktadır.]
f fonksiyonunun grafiğine A ve B noktalarında teğet olan iki doğrunun kesim noktası C olmak üzere, ABC üçgeninin f'nin grafiği üstünde kalan kısmının alanı 2 birimkaredir.
AB doğrusu x eksenine paralel ve
$f'(1) = 2, f'(6) = -\frac{1}{2}$
olduğuna göre, $\int_{1}^{6} f(x) dx$ ifadesinin $f(1)$ türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) $5f(1)$
B) $5f(1) + 1$
C) $5f(1) + 2$
D) $5f(1) + 3$
E) $5f(1) + 4$
Soruda görsel içerik var: Bir koordinat düzleminde $y = f(x)$ eğrisi çizilmiştir. Eğri üzerinde $A(1, f(1))$ ve $B(6, f(6))$ noktaları işaretlenmiştir. $AB$ doğru parçası $x$ eksenine paraleldir. Şekil bir parabol benzeri eğriyi göstermektedir.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba Ali, seninle birlikte bu harika integral sorusunu adım adım çözelim.
Grafik ve Teğet Bilgileri
İlk olarak, grafikte AB doğrusunun x eksenine paralel olduğu verilmiş. Bu, A ve B noktalarının y koordinatlarının aynı olduğu anlamına gelir.
Şimdi, f fonksiyonuna A noktasında teğet olan doğrunun denklemini yazalım. Bu noktadaki türev, yani teğetin eğimi iki olarak verilmiş.
f bir yerine k, türev yerine de iki yazarak teğet doğrumuzun denklemini düzenleyelim.
Benzer şekilde, B noktasındaki teğet doğrusunun denklemini kuralım. Bu noktadaki eğim, yani türev eksi bir bölü iki olarak verilmiş.
Değerleri yerine yerleştirerek ikinci teğet doğrusunun denklemini de elde edelim.
Harika! Şimdi bu iki teğet doğrusunun kesim noktası olan C noktasının koordinatlarını bulalım. Bunun için denklemleri birbirine eşitleyelim.
Kesim Noktası C'nin Bulunması
Her iki taraftaki k değerleri birbirini götürür. Denklemi düzenlediğimizde x değerini iki olarak buluruz.
Bu x değerini teğet denklemlerinden birinde yerine koyarak C noktasının y koordinatını da k artı iki olarak elde ederiz.
Böylece ABC üçgenimizin üç köşesinin de koordinatlarını belirlemiş olduk. Şimdi bu üçgeni görselleştirelim.
ABC Üçgeni ve Alan Analizi
| Köşe | Koordinat |
|---|---|
| A | (1, k) |
| B | (6, k) |
| C | (2, k+2) |
İşte üçgenimiz ve f fonksiyonunun grafiği bu şekilde görünmektedir.
Çözümün devamı Solvi’de
10 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
