Integral ve Riemann Toplamı İlişkisi
Yayınlanma:
Örnek 08:
Dik koordinat düzleminde, [0, 6] kapalı aralığında tanımlı, sürekli ve artan bir f fonksiyonunun grafiği şekilde gösterilmiştir.
[Grafik gösterimi]
Buna göre, [0, 6] kapalı aralığında f fonksiyonunun grafiği ile x ekseni arasında kalan bölgenin alanı,
I. $6.f(6)$
II. $3.f(3) + 3.f(6)$
III. $2.f(0) + 2.f(2) + 2.f(4)$
değerlerinin hangilerinden küçüktür?
A) Yalnız I
B) Yalnız III
C) I ve II
D) I ve III
E) I, II ve III
(2022/AYT)
Soruda görsel içerik var: Koordinat düzleminde x ekseni üzerinde işaretlenmiş 0, 2, 3, 4 ve 6 noktaları bulunmaktadır. 0'dan 6'ya kadar artan ve sürekli bir y=f(x) doğrusu/eğrisi çizilmiştir. Dik kesikli çizgilerle (2, f(2)), (3, f(3)), (4, f(4)) ve (6, f(6)) noktalarına karşılık gelen değerler x eksenine indirilmiştir. Grafik ve eksenler arasında kalan alan bölgesi, belirli bir fonksiyon eğrisi altında kalan bölgeyi görselleştirmektedir.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba Hayrunnisa, seninle birlikte bu güzel integral ve Riemann toplamı sorusuna bakalım.
Sorumuzda sıfır altı kapalı aralığında tanımlı, sürekli ve artan bir f fonksiyonunun grafiği verilmiş. Fonksiyonun altında kalan alanı, yani integrali, şıklardaki ifadelerle kıyaslamamız isteniyor.
Analiz
- Fonksiyon: Sürekli ve Artan
- Aralık: $[0, 6]$
- Hedef Alan: $A = \int_{0}^{6} f(x) dx$
İlk önce f fonksiyonu artan olduğu için bazı temel özellikleri hatırlayalım. Artan bir fonksiyonda, belirli bir aralıkta sağ Riemann toplamı her zaman gerçek alandan büyük, sol Riemann toplamı ise her zaman küçüktür.
# Riemann Toplamları
Şimdi birinci öncülü inceleyelim. Altı çarpı f altı ifadesi aslında neyi temsil ediyor?
I. Öncül: $6 \cdot f(6)$
Bu ifade, tabanı altı birim olan ve yüksekliği f altı olan tek bir büyük dikdörtgenin alanıdır. Sınırlarımız sıfır ve altı olduğu için bu, aralığın tamamını kapsayan bir sağ Riemann toplamıdır.
Gördüğün gibi turuncu dikdörtgenin alanı, fonksiyonun altındaki alandan belirgin bir şekilde fazladır. Dolayısıyla gerçek alan bu değerden küçüktür. Birinci öncül doğrudur.
Şimdi ikinci öncüle bakalım. Üç çarpı f üç artı üç çarpı f altı. Burada aralık, sıfırdan üçe ve üçten altıya olmak üzere iki eşit parçaya bölünmüş.
II. Öncül: $3 \cdot f(3) + 3 \cdot f(6)$
Bu ifade, genişliği üç birim olan iki dikdörtgenin sağ Riemann toplamıdır. Birinci dikdörtgenin yüksekliği f üç, ikincisinin yüksekliği f altı olarak alınmış.
Çözümün devamı Solvi’de
7 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
