İntegral ve Fonksiyonlarda Alan Hesabı

MathematicsIntegralZorYKS

Yayınlanma:

Soru

$g(x)$ doğrusal fonksiyon ve boyalı bölgenin alanı 10 birimkare olmak üzere,

$$\int_{2}^{5} f(g(x))dx = -3$$

eşitliği veriliyor.

Buna göre $\int_{0}^{2} g(f(x))dx$ integralinin değeri kaçtır?

A) -12 B) -10 C) -9 D) -6 E) -4

Soruda görsel içerik var: Koordinat sistemi üzerinde iki grafik bulunmaktadır. Birincisi y = f(x) eğrisi olup x eksenini 0, 2 ve 9 noktalarında kesmektedir. x = 2 ve x = 9 arasında kalan bölge (x ekseninin altında) boyalıdır ve alanı 10 birimkare olarak belirtilmiştir. İkinci grafik g(x) doğrusal fonksiyonudur; y eksenini -6'da keser ve x eksenini y = f(x) eğrisi ile birlikte (2,0) noktasında keser.

Animasyonlu Video Çözüm

İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.

Adım Adım Yazılı Çözüm

1
Adım 1

Merhaba! Grafik ve integral içeren bu soruyu birlikte çözelim. Önce bize verilen grafikleri ve bilgileri inceleyelim.

İntegral ve Alan İlişkisi

2
Adım 2

Grafikte g(x) fonksiyonunun bir doğru olduğunu görüyoruz. Bu doğrunun y eksenini eksi altıda, x eksenini ise ikide kestiğini fark etmişsinizdir.

g(x) Fonksiyonunu Bulalım

3
Adım 3

Doğru denklemini yazmak için eğimi bulalım. Eğim, dikey değişim bölü yatay değişimdir. Buradan eğimimiz üç çıkar.

$$g(x) = ax + b$$
4
Adım 4

y eksenini kestiği nokta eksi altı olduğu için, g(x) eşittir üç x eksi altı şeklinde yazabiliriz.

5
Adım 5

Şimdi pembe renkli f(x) eğrisine bakalım. Boyalı bölgenin iki ile dokuz arasında olduğunu ve x ekseninin altında kaldığını görüyoruz.

Alan ve İntegral

6
Adım 6

Bu bölgenin alanı on birimkare olarak verilmiş. Fonksiyon x ekseninin altında olduğu için, integralin değeri alanın negatifi yani eksi ondur.

$$ \int_{2}^{9} f(x) dx = -10$$
7
Adım 7

Şimdi bize verilen ilk integrali inceleyelim: ikiden beşe f bileşke g x, de x eşittir eksi üç.

$$\int_{2}^{5} f(g(x)) dx = -3$$
8
Adım 8

İçerideki g x ifadesine u diyerek değişken değiştirelim. g x eşittir üç x eksi altı demiştik. Türev alırsak d u eşittir üç d x olur.

$$u = 3x - 6 \implies dx = \frac{du}{3}$$
9
Adım 9

Sınırları değiştirelim. x eşittir iki için u sıfır, x eşittir beş için u dokuz olur.

$$x=2 \implies u=0, \quad x=5 \implies u=9$$
10
Adım 10

Yeni integralimizi yazalım. Sıfırdan dokuza f u bölü üç eşittir eksi üç. Buradan sıfırdan dokuza f x de x toplamını eksi dokuz buluruz.

$$\frac{1}{3} \int_{0}^{9} f(x) dx = -3 \implies \int_{0}^{9} f(x) dx = -9$$

Çözümün devamı Solvi’de

9 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.

Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.

App Store’dan indir Google Play’den edin

İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye

100K+Her gün çözülen soru
50K+Öğrenen öğrenci
4.8 ★App Store puanı

Soru Bilgileri

Ders
Mathematics
Konu
Integral
Zorluk
Zor
Sınav
YKS
Soru Tipi
Çoktan Seçmeli

Benzer Sorular

Belirli İntegral ile f(x) Fonksiyonu Yorumlama Integral · Zor Belirsiz İntegral Sorusu Integral · Orta İntegral ile Alan Hesaplama Integral · Zor İntegral ile Alan Hesabı Integral · Zor İki Eğri Arasındaki Bölgenin Alanı Integral · Orta Belirsiz İntegral Hesaplama Integral · Orta

Her soruyu saniyeler içinde çöz

Fotoğrafını çek, yapay zeka adım adım, sesli ve animasyonlu anlatsın.

App Store’dan indir Google Play’den edin
Solvi
Çözümün devamı uygulamadaİndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
İndir