İntegral ve Fonksiyonel Eşitlik Sorusu

Selam millet! Bugün AYT matematik sınavlarında karşımıza çıkabilecek oldukça kaliteli bir integral ve fonksiyon sorusunu birlikte çözeceğiz.

Soru bize f fonksiyonuyla ilgili bir f x artı y eşitliği vermiş. Bu tarz fonksiyonel denklemlerde genelde fonksiyonun türevini kullanarak f'in kendisini bulmaya çalışırız.

İfadeye dikkatlice bakarsanız, bu yapı bize x artı y'nin küp açılımını hatırlatıyor. Şöyle bir düzenleme yapalım: her iki tarafa x küp artı y küp ekleyip çıkarabiliriz ya da direkt türev tanımını kullanabiliriz.

Gelin y değerini h gibi düşünüp ifadeyi h sıfıra giderken türev tanımına benzetelim. Ya da daha kolayı, y'yi değişken, x'i sabit kabul ederek y'ye göre türev alalım.

Şimdi y yerine sıfır yazalım. Böylece f türev x'i elde etmiş olacağız.

Soruda f türev sıfırın sıfır olduğu verilmiş. Bu bilgiyi yerine koyduğumuzda f türev x eşittir üç x kare buluruz.

Türevi üç x kare olan fonksiyon nedir? Tabii ki belirsiz integral alırsak f x eşittir x küp artı c olur.

Sabit terim c'yi bulmak için ana denklemde x ve y yerine sıfır yazalım. f sıfır eşittir f sıfır artı f sıfır artı sıfır gelir, buradan f sıfır eşittir sıfır çıkar.

Harika! Fonksiyonumuzu f x eşittir x küp olarak bulduk. Bakalım bu fonksiyon şartlara uyuyor mu? Gerçel sayılarda sürekli ve artan. Evet, x küp fonksiyonu artan bir fonksiyondur.

Şimdi bizden istenen iki ile üç arasındaki integralin değer aralığını bulalım. Önce integrali hesaplayalım.