Integral ve Fonksiyon Grafiği

Merhaba! Bu soruda f fonksiyonunun grafiği verilmiş ve bizden belirli bir integralin değerini hesaplamamız istenmiş. Hadi adım adım inceleyelim.

Önce istenen integrali parçalayarak yazalım. Bir artı f eksi x'in integrali, birin integrali artı f eksi x'in integrali şeklinde yazılabilir.

Birinci kısmın sonucunu hemen bulabiliriz. Üst sınırdan alt sınırı çıkardığımızda, üç eksi eksi dörtten yedi sonucuna ulaşırız.

Şimdi ikinci kısımdaki f eksi x integralini hesaplamamız gerekiyor. Burada bir değişken değiştirmesi yapalım.

Sınırları da güncelleyelim. x eşittir eksi dört için u eşittir artı dört, x eşittir üç için ise u eşittir eksi üç olur.

Bu durumda integralimiz, eksi parantezinde, dörtten eksi üçe kadar f u, d u haline gelir.

İntegralin sınırlarını yer değiştirirsek eksi işareti artıya döner. Yani aslında bizden istenen, eksi üçten dörde kadar f x d x integralidir.

Belirli integralin geometrik yorumuna göre, bu değer grafigin altında kalan alandır. Grafikte eksi üç ile dört arasındaki bölgeyi inceleyelim.

Eksi üçten dörde kadar olan alanı bulmak için şekli parçalayabiliriz. Önce tepe noktasının apsisi olan ikiye kadar olan üçgenin alanına bakalım. Taban uzunluğu beş, yükseklik ondur.