İntegral ve Fonksiyon Eşitsizliği Sorusu
Yayınlanma:
26. Gerçel sayılar kümesinden gerçel sayılar kümesine tanımlı f ve g fonksiyonlarından f fonksiyonu $f(x) = \lceil x \rceil$ ("x sayısından büyük en küçük tam sayı") olarak tanımlanırken, g fonksiyonunun grafiği dik koordinat düzleminde aşağıda verilmektedir.
n bir pozitif tam sayı üzere
$$-3 \int_{0}^{3} g(x) dx < \int_{0}^{n} f(x) dx$$
eşitsizliği veriliyor.
Buna göre n sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Soruda görsel içerik var: Koordinat düzleminde, x ekseninde -2'den 6'ya kadar uzanan ve x=6 noktasından sonra aşağıya doğru dik inen bir doğru parçası, ardından 3'ten 6'ya kadar x eksenine paralel bir doğru ve 3'ten yukarıya doğru artan bir parça içeren g(x) fonksiyonunun grafiği görülmektedir. Grafiğin kritik noktaları x ekseni üzerinde: -2, 0, 3, 5, 6 olarak işaretlenmiş ve kesikli çizgilerle y ekseni ve grafik üzerindeki noktalar arasında bağlantılar kurulmuştur.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba Fatihin, bu integral sorusuna birlikte bakalım. Sorumuzda iki fonksiyonumuz var. f fonksiyonu x sayısından büyük en küçük tam sayı olarak tanımlanmış. g fonksiyonu ise grafiği verilen parçalı bir fonksiyon.
İntegral ve Alan İlişkisi
Öncelikle bize verilen eşitsizliğin sol tarafındaki integrali hesaplayalım. Eksi üçten üçe kadar g fonksiyonunun integralini bulmak, grafik ile x ekseni arasındaki net alanı bulmak demektir.
Grafiğe bakarsak, eksi üçten eksi ikiye kadar olan kısım üçgenin bir parçası. Ancak daha kolay bir yol olarak geometrik şekillerin alanlarını toplayabiliriz. Üstte kalan büyük üçgenden başlayalım.
Grafiğe göre sıfırdan altıya kadar g fonksiyonu tepe noktası altı olan bir üçgen oluşturuyor. Ama bize eksi üçten üçe kadar lazım. Eksi üç değeri x ekseninde daha solda.
Doğrusal fonksiyonların denklemlerini yazalım. Eksi ikide sıfır olan ve y eksenini altıda kesen doğrunun eğimi üçtür. Yani g x eşittir üç x artı altıdır.
Eksi üçten eksi ikiye kadar olan parça alan olarak eksi üç bölü ikidir çünkü x ekseninin altındadır. Eksi ikiden sıfıra kadar olan üçgenin alanı ise iki çarpı altı bölü ikiden altıdır.
Sıfırdan bire kadar grafiğin değeri sabit ve altıdır. Bu bölgedeki alan bir çarpı altıdan altı birimkaredir. Birden üçe kadar ise grafik üç birim yukarıdadır.
Çözümün devamı Solvi’de
7 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
