Integral ve Alan İlişkisi

Merhaba Elif, seninle birlikte bu integral sorusunu adım adım çözelim. İlk olarak verilen grafiği ve alanları inceleyelim.

Sarı alanlara sırasıyla S bir ve S iki, pembe alana ise P diyelim. Grafik ile y eşittir k doğrusu arasındaki bu alanları integral cinsinden yazalım.

Pembe alan olan P ise, eksi bir ile üç aralığında f x fonksiyonunun k doğrusunun üzerinde kalan kısmıdır.

Soruda pembe alanın, sarı alanların toplamından sekiz birimkare eksik olduğu belirtilmiş. Bunu denklem olarak yazalım.

Buradan, P eksi parantezinde S bir artı S iki ifadesinin eksi sekize eşit olduğunu elde ederiz. Bu bağıntı çözümde çok işimize yarayacak.

Şimdi de soruda bize verilen integral ifadesini değişken değiştirme yöntemiyle basitleştirelim.

İki x eksi üç ifadesine u diyelim. Her iki tarafın türevselini aldığımızda, iki de x eşittir de u elde ederiz.

Şimdi de integralin sınırlarını u değişkenine göre güncelleyelim. Alt sınır olan eksi bir için, u değeri eksi beş olur.

Üst sınır olan beş için ise, u değeri yedi olarak bulunur.

Bu değerleri integralde yerine yazdığımızda yeni integralimizi elde ederiz.

Eşitliğin her iki tarafını iki ile çarptığımızda, f x fonksiyonunun eksi beşten yediye integralinin kırka eşit olduğunu buluruz.