İkinci Dereceden Polinomda Kalan Bulma

Selam arkadaşlar! Bugün polinomlarla ilgili güzel bir AYT sorusu çözeceğiz. İkinci dereceden bir P x polinomumuz var, gelin verileri tek tek inceleyelim.

Polinomun başkatsayısı bir, sabit terimi ise bir doğal sayı olarak verilmiş. Bu bilgilere göre polinomu genel formda yazalım.

Polinomun birbirinden farklı iki tam sayı sıfırı, yani kökü olduğu söylenmiş. Bu köklere x bir ve x iki diyelim. Kökler ve katsayılar arasındaki ilişkiyi hatırlayalım.

Soruda ayrıca P x polinomunun x eksi dört ile bölümünden kalanın eksi yetmiş beş olduğu verilmiş. Bu, P dört değerinin eksi yetmiş beş olduğu anlamına gelir.

Bulduğumuz genel formda x yerine dört yazalım. Dört eksi x bir çarpı dört eksi x iki, eksi yetmiş beşe eşit olmalı.

Denklemi düzenlemek için her iki tarafı eksi bir ile çarparak x bir eksi dört çarpı x iki eksi dört eşittir eksi yetmiş beş şeklinde yazabiliriz.

Ayrıca c değerinin köklerin çarpımı olduğunu biliyoruz. c bir doğal sayı olduğuna göre, x bir çarpı x iki sıfırdan büyük veya eşit olmalı.

Şimdi çarpımları eksi yetmiş beş olan tam sayı çiftlerini düşünelim. Öyle ki çarpımları pozitif bir c değeri versin. Beş ve eksi on beş çarpanlarını deneyelim.

Bu durumda köklerin çarpımı dokuz çarpı eksi on birden eksi doksan dokuz olur. Ancak c bir doğal sayı olmalıydı. Bu yüzden bu durum mümkün değil.