İkinci Dereceden Polinomda Kalan Bulma

Merhaba! İkinci dereceden bir polinom sorusuyla karşı karşıyayız. Bize verilen ipuçlarını kullanarak önce polinomun köklerini, sonra da kendisini bulacağız.

Soruda P x polinomunun başkatsayısının bir olduğu ve iki farklı tam sayı kökü olduğu söylenmiş. Bu köklere x bir ve x iki diyelim.

Sabit terimin bir asal sayı olduğu bilgisi verilmiş. Polinomun sabit terimi, x yerine sıfır yazılarak bulunur.

Yani köklerin çarpımı olan x bir çarpı x iki, bir asal sayıdır. Asal sayıların çarpanları sadece bir ve kendisidir.

Bir diğer bilgiye göre P x in x eksi dört ile bölümünden kalan eksi yetmiş beştir. Bu, P dört eşittir eksi yetmiş beş demektir.

Parantezleri dağıtırsak; on altı eksi dört parantezinde x bir artı x iki, artı x bir çarpı x iki eşittir eksi yetmiş beş elde ederiz.

Bilinenleri düzenleyelim. Dört parantezinde kökler toplamı, eksi kökler çarpımı eşittir doksan bir olur.

Şimdi köklerin çarpımının bir asal sayı olduğunu ve köklerin tam sayı olduğunu hatırlayalım. Çarpımları asal sayı olan tamsayı ikililerini düşünelim.

Denklemde x bir çarpı x iki yerine p yazalım. Dört çarpı toplam, eksi p eşittir doksan bir ise, p nin asal olma şartını sağlayan değerlere bakalım.

Eğer köklerimizden biri bir, diğeri asal sayı p ise; dört çarpı bir artı p, eşittir doksan bir artı p olur. Buradan çözüm gelmez. Ancak negatif tam sayı ihtimalini düşünelim.

Bu durumda çarpım yine p olur. Denklemde yerine koyalım; dört çarpı eksi bir eksi p, eksi p eşittir doksan bir.

Eksi dört, eksi beş p eşittir doksan bir. Buradan eksi beş p eşittir doksan beş, yani p eşittir eksi on dokuz çıkar. Ama p bir asal sayı olmalıydı. Pozitif olmalı.