ikinci Dereceden Polinom Kökleri

Merhaba İbrahim, ÖSYM'nin sevdiği tarzda, hem cebirsel işlem hem de mantık gerektiren bu güzel AYT polinom sorusunu birlikte çözelim.

Soru bize en yüksek dereceli teriminin katsayısı bir olan, ikinci dereceden bir P(x) polinomundan bahsediyor. Hemen genel denklemini yazalım.

Polinomun kökleri bize P(sıfır) ve P(iki) olarak verilmiş. Bu bilgiyi de köşeye not edelim.

Öncelikle P(sıfır) değerini bulalım. Polinomda x yerine sıfır yazdığımızda sadece sabit terim kalır.

Bu da demek oluyor ki P(sıfır) değeri c'ye eşittir. Yani köklerimizden biri c'ymiş.

Şimdi elimizdeki bir diğer önemli araç olan kökler çarpımını kullanalım. İkinci derece denklemde kökler çarpımı c bölü a'dır, a katsayımız bir olduğu için doğrudan c'ye eşittir.

Köklerimizin P(sıfır) ve P(iki) olduğunu biliyorduk. Denklemde yerlerine koyalım.

Az önce P(sıfır) değerinin c olduğunu bulmuştuk. Bunu yerine yazdığımızda elimize kilit bir denklem geçiyor.

Burada çok dikkatli olmalıyız c'leri kafamıza göre sadeleştiremeyiz çünkü c sıfır olabilir. Bu yüzden iki farklı durumu inceleyeceğiz.

Birinci durum, c'nin sıfıra eşit olma ihtimalidir.

İkinci durum ise c'nin sıfırdan farklı olduğu durumdur.

Hemen birinci duruma odaklanalım. Eğer c sıfırsa, P(sıfır) da sıfıra eşittir.

Artık kökler toplamı formülünü kullanabiliriz. Başkatsayı bir olduğu için kökler toplamı eksi b'ye eşittir.

Köklerimizin P(sıfır) ve P(iki) olduğunu biliyoruz, yerlerine yazalım.

P(sıfır) yerine bulduğumuz sıfır değerini yazdığımızda, P(iki) değerinin eksi b'ye eşit olduğunu görürüz.