İkinci Dereceden Fonksiyon ve İntegral

MathematicsIntegralsZorYKS

Yayınlanma:

Soru

25. f, en küçük değeri sıfır olan ikinci dereceden polinom fonksiyon olmak üzere her x gerçel sayısı için $f(x) = f(4 - x)$ eşitliği sağlanıyor. $$\int_{0}^{4} f(x)dx = 16$$ olduğuna göre $$\int_{1}^{2} f(x + 2)dx$$ integralinin değeri kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

Animasyonlu Video Çözüm

İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.

Adım Adım Yazılı Çözüm

1
Adım 1

Merhaba Hilal, seninle birlikte bu harika integral sorusunu adım adım çözelim.

İkinci Dereceden Polonom ve İntegral

2
Adım 2

İlk olarak soruda bize verilen f x eşittir f dört eksi x eşitliğine odaklanalım. Bu eşitlik bize fonksiyonun simetri eksenini verir.

$$f(x) = f(4 - x)$$
3
Adım 3

Bir parabolde f x eşittir f dört eksi x olması, parabolün x eşittir iki doğrusuna göre simetrik olduğunu gösterir. Yani simetri eksenimiz r eşittir ikidir.

$$r = \frac{x + (4 - x)}{2} = 2$$
4
Adım 4

Ayrıca f fonksiyonunun en küçük değerinin sıfır olduğu belirtilmiş. Bu da parabolün tepe noktasının x ekseni üzerinde, yani tepe noktasının ikiye sıfır olduğunu söyler.

$$T(r, k) = T(2, 0)$$
5
Adım 5

Tepe noktası ikiye sıfır olan ve en küçük değeri sıfır olan kollar yukarı doğru bu parabolün genel denklemini yazalım.

$$f(x) = a(x - 2)^2 \quad (a > 0)$$
6
Adım 6

Şimdi parabol denklemimizi kullanarak bize verilen integral bilgisini değerlendirelim.

Baş katsayı olan a Değerini Bulalım

$$\int_{0}^{4} f(x) \, dx = 16$$
7
Adım 7

f x yerine bulduğumuz a çarpı x eksi ikinin karesi ifadesini yazalım.

$$\int_{0}^{4} a(x - 2)^2 \, dx = 16$$
8
Adım 8

Bu integrali daha kolay çözmek için u dönüşümü yapalım. x eksi ikiye u diyelim, bu durumda d x eşittir d u olur.

$$u = x - 2 \implies du = dx$$
9
Adım 9

İntegral sınırlarını da değiştirelim. x sıfır için u eksi iki, x dört için u iki olur.

$$x = 0 \implies u = -2, \quad x = 4 \implies u = 2$$
10
Adım 10

Yeni sınırlarımızla integralimizi yazarsak, eksi ikiden ikiye a çarpı u kare d u eşittir on altı olur.

$$\int_{-2}^{2} a \cdot u^2 \, du = 16$$
11
Adım 11

u kare çift fonksiyon olduğu için, bu integrali sıfırdan ikiye iki katı olarak yazabiliriz. Buradan integralin değeri sekiz olur.

$$2 \int_{0}^{2} a \cdot u^2 \, du = 16 \implies \int_{0}^{2} a \cdot u^2 \, du = 8$$
12
Adım 12

İntegrali alırsak, a çarpı u küp bölü üç elde ederiz. Sınırları yerine yazalım.

$$a \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{0}^{2} = 8$$

Çözümün devamı Solvi’de

11 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.

Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.

App Store’dan indir Google Play’den edin

İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye

100K+Her gün çözülen soru
50K+Öğrenen öğrenci
4.8 ★App Store puanı

Soru Bilgileri

Ders
Mathematics
Konu
Integrals
Zorluk
Zor
Sınav
YKS
Soru Tipi
Çoktan Seçmeli

Benzer Sorular

Simetrik Fonksiyon İntegral Sorusu Integrals · Orta İntegral Denklemde Değer Bulma Integrals · Zor İntegral ve İkinci Dereceden Denklem Integrals · Orta Polinom ve İntegral İlişkisi Integrals · Orta İki parabol arasında kalan alan Integrals · Orta Parçalı Fonksiyonun İntegrali Integrals · Zor

Her soruyu saniyeler içinde çöz

Fotoğrafını çek, yapay zeka adım adım, sesli ve animasyonlu anlatsın.

App Store’dan indir Google Play’den edin
Solvi
Çözümün devamı uygulamadaİndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
İndir