İkinci Dereceden Fonksiyon ve İntegral

Merhaba Rabia, seninle birlikte bu güzel AYT integral sorusunu adım adım çözelim.

İlk olarak, bize her iks gerçel sayısı için f iks eşittir f dört eksi iks eşitliği verilmiş.

İkinci dereceden bir fonksiyonun, yani bir parabolün bu tür bir simetri özelliği varsa, simetri ekseni içerideki ifadelerin aritmetik ortalamasıdır.

İksler birbirini götürür ve pay kısmında sadece dört kalır. Dördü ikiye böldüğümüzde simetri eksenini iki olarak buluruz.

Demek ki bu parabolün simetri ekseni iks eşittir iki doğrusudur.

Şimdi parabolün tepe noktasını ve genel denklemini belirleyelim.

Soruda f fonksiyonunun alabileceği en küçük değerin sıfır olduğu belirtilmiş.

Tepe noktasının koordinatları re ye ka şeklindedir. Burada tepe noktasının apsisi simetri ekseni olan iki, en küçük değeri ise ka yani sıfırdır.

Tepe noktası bilinen parabol denklemini f iks eşittir a çarpı iks eksi re nin karesi artı ka şeklinde yazabiliriz.

re yerine iki ve ka yerine sıfır yazdığımızda, fonksiyonumuz f iks eşittir a çarpı iks eksi ikinin karesi haline gelir. En küçük değer sıfır olduğuna göre kollar yukarı doğrudur, yani a sıfırdan büyüktür.

Şimdi a katsayısını bulmak için soruda bize verilen belirli integrali kullanalım.

f iks yerine az önce bulduğumuz a çarpı iks eksi ikinin karesi ifadesini yazalım.

Bu integralin ilkelini alalım. İks eksi ikinin karesinin integrali, iks eksi ikinin küpü bölü üç olacaktır. Başındaki a sabiti aynen kalır.

Öncelikle üst sınır olan dört değerini yerine yazarak başlayalım.

Şimdi de alt sınır olan sıfır değerini yerine yazalım.