İkinci Dereceden Denklemlerin Çözüm Kümesi

Soru bizden a artı b toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamını istiyor. Elimizde çarpım durumunda iki adet ikinci dereceden ifade var ve sonuç sıfır. Bu denklemin çözüm kümesinin tam olarak iki elemanlı olduğu belirtilmiş.

Birinci ifadeye P, ikinci ifadeye Q diyelim. Bu iki ifadenin köklerinin birleşim kümesi, denklemin çözüm kümesini oluşturur. Kümenin 2 elemanlı olması için köklerin çakışması veya bazı köklerin çift katlı olması gerekir.

İlk durumla başlayalım. Eğer P ve Q ifadelerinin her ikisi de ikişer farklı köke sahipse ve bu kökler birbirinin aynısıysa, toplamda sadece 2 farklı kökümüz olur.

Bu durumda Q, P'nin bir katı olmalıdır. P'nin başkatsayısı 1, Q'nunki 2 olduğu için, Q eşittir 2 çarpı P diyebiliriz.

Denklemleri eşitleyerek katsayıları karşılaştıralım. İki x kare eksi sekiz x artı iki a ifadesi, iki x kare artı a x artı b'ye eşit olmalı.

Buradan a'nın eksi 8, b'nin ise 2a, yani eksi 16 olduğunu görürüz. Bu durumda a artı b, eksi 24 eder.

İkinci ana duruma geçelim. P ifadesinin deltasının sıfır olduğu, yani çift katlı köke sahip olduğu duruma bakalım.

a eşittir 4 olduğunda, P'nin kökü x eşittir 2 olur. Şimdi Q için iki alt durumumuz var.

Alt durum A: Q'nun da çift katlı bir kökü vardır ve bu kök 2'den farklıdır. Q'nun deltası sıfıra eşitlenirse b 2 bulunur.

Bu durumda a 4, b 2 dir. Toplamları 6 yapar. Kökler birbirinden farklı olduğu için (2 ve -1) çözüm kümesi 2 elemanlıdır. Bu geçerli.

Alt durum B: Q'nun köklerinden biri P'nin köküyle, yani 2 ile aynıdır. Q denkleminde x yerine 2 yazıp sıfıra eşitleyelim.