İkinci Dereceden Denklemler ve Kök Özellikleri

Arkadaşlar merhaba. Bugün ikinci dereceden denklemlerle ilgili çok güzel ve dikkat gerektiren bir AYT sorusu çözeceğiz. Soruda verilen şartları adım adım inceleyelim.

Birinci denklemle başlayalım. Denklemimizin köklerinden biri, kökler çarpımına eşitmiş. Kökler sıfırdan farklı olduğu için bu bize çok önemli bir ipucu veriyor.

Denklemin köklerine x bir ve x iki diyelim. Kökler çarpımı c bölü a'dan m eksi bir olur. Eğer köklerden biri, örneğin x bir, bu çarpıma eşitse; x bir eşittir x bir çarpı x iki diyebiliriz.

Soruda köklerin sıfırdan farklı olduğu belirtilmiş. Bu yüzden x bir'leri sadeleştirebiliriz. Buradan diğer kökün, yani x iki'nin 1 olduğunu buluruz.

Madem köklerden biri 1, bu kök denklemi sağlamak zorundadır. Denklemde x yerine 1 yazıp m değerini bulalım.

İfadeyi düzenleyelim. Bir eksi iki m artı dört artı m eksi bir sıfırdır. Buradan m eşittir 4 gelir.

M değerini 4 bulduk. Şimdi birinci denklemin gerçek köklerini netleştirelim. M yerine 4 yazdığımızda denklem x kare eksi 4x artı 3 olur.

Şimdi ikinci denkleme geçelim. Bu denklem iki çarpanın çarpımı şeklinde verilmiş. İlk çarpan zaten az önce çözdüğümüz denklem.

Bu denklemin çözüm kümesinin toplamda 3 elemanlı olduğu söylenmiş. Birinci kısımdan zaten 1 ve 3 kökleri geliyor. Demek ki sağdaki ifadeden kümemize sadece 1 tane 'yeni' eleman eklenmeli.

Sağdaki çarpanı Q(x) olarak isimlendirelim: x kare eksi 8x artı n. Zaten elimizde {1, 3} kümesi var. Toplam eleman sayısının 3 olması için iki durum söz konusu.