İkinci Dereceden Denklemler ve Kök İlişkileri

Merhaba arkadaşlar. Bu soruda Zeynep'in sınıfındaki ikinci dereceden denklem etkinliğini inceleyeceğiz. Öncelikle bize verilen denklemi tahtaya yazalım ve yapısını anlamaya çalışalım.

Burada 'c' bir tamsayı. Her öğrenci farklı bir 'c' değeri seçiyor. Ancak şuna dikkat edelim: Öğrencilerin bulduğu çözüm kümelerinin 'ortak bir elemanı' olduğundan bahsediliyor. Bu, c değiştikçe değişmeyen sabit bir kök olduğu anlamına gelir.

Bu sabit kökü bulmak için denklemi düzenleyelim. İçinde c olan terimleri ve olmayan terimleri gruplayalım.

Şimdi ilk kısmı çarpanlarına ayıralım. x kare eksi 3x eksi 4 ifadesi, (x-4) çarpı (x+1) şeklinde yazılabilir.

Harika! Gördüğünüz gibi her iki grupta da (x+1) çarpanı ortak. İfadeyi (x+1) parantezine alırsak kökleri net bir şekilde görebiliriz.

Bu çarpımın sıfır olması için ya x artı 1 sıfırdır, ya da diğer parantez sıfırdır. Yani köklerimizden biri her zaman eksi 1'dir.

Analizimiz gösterdi ki, c yerine hangi tamsayıyı yazarsak yazalım, çözüm kümesinde mutlaka -1 elemanı bulunuyor. Yani sınıftaki 'her öğrencinin' çözüm kümesinde -1 var.

Herkesin çözümünde -1 olduğu için, 'ortak elemanı olan öğrenci sayısı' aslında o gün sınıfta olan, yani denklemi çözen tüm öğrencilerin sayısıdır. Buna S diyelim.