İkinci Dereceden Denklem Sistemleri

Merhaba babanen, hadi bu soruyu birlikte çözelim. Karşımızda ikinci dereceden ve birinci dereceden iki denklem içeren bir sistem var.

Soruda bu denklem sisteminin çözüm kümesinin bir elemanlı olduğu belirtilmiş. Bu cümlenin geometrik bir anlamı var, bunu tespit etmemiz sorunun anahtarı olacak.

Önce birinci denkleme bakalım. İks kare artı y kare eşittir eksi a eksi iki. Bu yapı, merkezi her zaman sıfıra sıfır, yani orijin olan bir çember belirtir.

Çemberimizin merkez koordinatlarını ve yarıçapını not edelim. Yarıçap, eşitliğin sağ tarafının kareköküdür.

İkinci denklemimiz ise a x artı dört y eşittir on sekiz. Bu doğrusal bir denklemdir ve analitik düzlemde bir doğru grafiği çizer.

Sistemin sadece bir çözümü olması demek, bu doğrunun çemberle sadece tek bir ortak noktası olduğu anlamına gelir. Yani doğru, çembere teğettir.

Bir doğrunun bir çembere teğet olma şartı basittir. Çemberin merkezinin doğruya olan en kısa dik uzaklığı, tam olarak çemberin yarıçapına eşit olmalıdır.

O halde d eşittir r eşitliğini kurarak çözüm yolumuzu inşa edeceğiz.

Şimdi bu eşitliği cebirsel olarak yazalım. Bunun için bir noktanın bir doğruya olan uzaklık formülünü kullanacağız.

Merkez noktamız olan sıfıra sıfırı formülde yerine koyalım. x sıfır ve y sıfır değerleri formüle girdiğinde pay kısmında sadece sabit terim, yani mutlak değer eksi on sekiz kalır.

Bu ifadeyi sadeleştirirsek, uzaklığımız on sekiz bölü kök içinde a kare artı on altı olur.

Geometrik analizimizde dediğimiz gibi, bu d uzaklığı yarıçap olan r ifadeye eşit olmalıdır. İki ifadeyi birbirine eşitleyelim.