İki Parabol Arasındaki Dikdörtgenin Alanı
Yayınlanma:
14. Aşağıda K noktasında teğet olan $y = 3x^2$ ve $y = -x^2 + 2x + m$ parabolleri verilmiştir.
[Görsel açıklaması: Kartezyen düzlemde biri orijinden geçen yukarı yönlü $y=3x^2$ parabolü, diğeri ise kolları aşağı bakan $y=-x^2+2x+m$ parabolüdür. Bu iki parabol K noktasında teğettir. K noktasından x eksenine inilen dikme ile oluşan pembe renkli bir dikdörtgen vardır.]
Koordinat sisteminde verilen pembe renkli dikdörtgenin alanı kaç birimkaredir?
A) $\frac{3}{32}$
B) $\frac{1}{8}$
C) $\frac{9}{32}$
D) $\frac{1}{2}$
E) $\frac{27}{32}$
Soruda görsel içerik var: A Cartesian coordinate system shows two parabolas. A yellow parabola $y = 3x^2$ passes through the origin. A blue downward-opening parabola $y = -x^2 + 2x + m$ intersects the x-axis at two points. They are tangent at point K. A rectangle is drawn with its left side on the vertical line segment from the x-axis to K, its top side connecting K to a point N on the blue parabola, and its bottom side on the x-axis between points L and M. The rectangle is filled with a pink color.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba arkadaşlar! Bu videoda, koordinat düzleminde birbirine teğet olan iki parabol ve aralarındaki pembe renkli dikdörtgenin alanını adım adım bulacağız.
Parabollerin Teğetliği ve Alan Hesabı
Öncelikle verilen iki parabol denklemini yazalım. İlki y eşittir üç x kare, ikincisi ise y eşittir eksi x kare artı iki x artı m parabolüdür.
Bu iki parabol K noktasında teğet olduğuna göre, ortak çözüm denklemimizin çift katlı bir kökü olmalıdır.
K Noktasındaki Teğetlik Koşulu
Bunun için denklemleri birbirine eşitleyerek ortak çözüm denklemini oluşturalım.
Tüm terimleri sol tarafa topladığımızda dört x kare eksi iki x eksi m eşittir sıfır denklemini elde ederiz.
Teğetlik koşulu gereği bu denklemin diskriminantı yani deltası sıfıra eşit olmalıdır.
Katsayıları formülde yerine koyalım. Eksi ikinin karesi eksi dört çarpı dört çarpı eksi m eşittir sıfırdır.
Buradan dört artı on altı m eşittir sıfır eşitliğine ulaşırız.
On altı m'i yalnız bıraktığımızda m değerini eksi bir bölü dört olarak buluruz.
Şimdi m değerini kullanarak teğet noktası olan K'nin koordinatlarını hesaplayalım.
K Noktasının Koordinatları
m yerine eksi bir bölü dört yazalım.
Bu ifade iki x eksi bir bölü ikinin parantez karesinin açılımıdır.
Buradan K noktasının apsisini, yani x K değerini bir bölü dört olarak buluruz.
Çözümün devamı Solvi’de
13 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
