Grafikte Belirli İntegral Hesabı
Yayınlanma:
25. Şekildeki dik koordinat düzleminde $y = f(x)$ grafiği gösterilmiştir.
Boyalı alanlar toplamı 17 birimkare olduğuna göre
$$\int_{-2}^{4} x \cdot f'(x+2) \, dx$$
integralinin değeri kaçtır?
A) 11 B) 17 C) 16 D) 15 E) 14
Soruda görsel içerik var: Dik koordinat düzleminde $y=f(x)$ fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Grafikte; x eksenini -2, 0, 4 noktalarında kesen kolları olan bir eğri mevcuttur. $x=0$ ile $x=2$ aralığında, eğri ile x ekseni arasında kalan bir bölge turuncu, $x=0$ ile $x=4$ aralığında x ekseninin altında kalan bir bölge mavi, $x=4$ ile $x=6$ aralığında x ekseni ile eğri arasında kalan bir bölge sarı renkle boyanmıştır. Grafikteki kritik noktalar şunlardır: $(0,0)$, $(2,3)$ noktasında dolu daire, $(4,0)$ noktasında boş daire, $(2,0)$ noktası ve $(4,-3)$ noktasında dolu daire mevcuttur. $x=6$ noktasında fonksiyonun değeri $y=5$ olarak işaretlenmiştir. Toplam boyalı alan 17 birimkaredir.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba Hafsa, gel bu integralli alan sorusunu birlikte çözelim. Soruda f fonksiyonunun grafiği ve bazı boyalı alanlar verilmiş.
İntegral ve Alan İlişkisi
Öncelikle bizden istenen integrali daha basit bir hale getirelim. Bunun için x artı iki ifadesine u diyerek değişken değiştirme yapalım.
İntegral sınırlarını da u değişkenine göre güncelleyelim. x eksi iki için u sıfır olur. x dört için u altı olur.
Ayrıca x artı iki u ise x değeri u eksi ikiye eşittir. Şimdi bunları integralde yerine koyalım.
İntegrali iki parça halinde yazalım. Birinci kısım u çarpı f türev u, ikinci kısım ise iki çarpı f türev u olsun.
U çarpı f türev u integrali için kısmi integrasyon uygulayalım. Birinci parçayı çözelim.
Kısmi İntegrasyon
Sınırları yerine yazarsak, altı çarpı f altı eksi sıfır çarpı f sıfır elde ederiz. Grafikten f altının beş olduğunu, f sıfırın ise sıfır olduğunu görüyoruz.
Burası otuz eksi sıfırdan otuz gelir. Yani ifademiz otuz eksi sıfırdan altıya f u d u oldu.
Şimdi ana integrale geri dönelim ve diğer parçayı da ekleyelim.
Sağdaki terimi entegre edersek iki çarpı f u olur, sınırları altı ve sıfırdır.
f altı beş ve f sıfır sıfır olduğu için, parantez içi beş gelir. İki ile çarparsak on elde ederiz.
Sayıları sadeleştirelim. İntegralin değeri yirmi eksi, sıfırdan altıya f u d u integrali olur.
Sıfırdan altıya f u d u integrali, f fonksiyonunun x ekseni ile sınırladığı net alandır. Grafikteki turuncu, mavi ve sarı boyalı bölgelere bakalım.
Alan Analizi
Çözümün devamı Solvi’de
12 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
