Gerçel Sayılarda Eşitsizlik Sorusu

Merhaba sevgili arkadaşlar. Bu videoda harika bir eşitsizlik sorusunu adım adım inceleyerek çözeceğiz. Öncelikle soruda bize verilen eşitsizliği inceleyelim.

Bu eşitsizliği daha kolay yorumlayabilmek için iki parçaya ayıralım. İlk olarak sol taraftaki eşitsizliğe odaklanalım.

x çarpı y terimine kolaylık olsun diye t diyelim. Bu durumda sol taraf t kare küçüktür t biçimini alır.

Bir reel sayının karesinin kendisinden küçük olması, o sayının sıfır ile bir arasında olmasını gerektirir.

Şimdi t yerine tekrar x çarpı y yazalım. Buradan sıfır küçüktür x çarpı y, o da küçüktür bir eşitsizliğini elde ederiz.

Bu sonuç bize çok önemli iki bilgi verir. Birincisi, x çarpı y sıfırdan büyüktür. Yani x ve y aynı işaretlidir. İkincisi ise x çarpı y birden küçüktür.

Böylece üçüncü öncülün her zaman doğru olduğunu doğrudan ispatlamış olduk. Şimdi diğer öncülleri incelemek için yeni bir tahtaya geçelim.

Şimdi eşitsizliğin sağ tarafına, yani x çarpı y küçüktür x kare çarpı y kısmına odaklanalım.

Bir önceki adımda x çarpı y çarpımının pozitif olduğunu, yani x ile y'nin aynı işaretli olması gerektiğini bulmuştuk. İki durumu da inceleyelim. Önce her ikisinin de negatif olduğu durumu düşünelim.

Eğer x ve y negatif ise, x'in karesi pozitif olur. Pozitif bir sayı ile negatif olan y'nin çarpımı ise negatif bir sonuç verir.

Ancak sol taraftaki x çarpı y terimi, iki negatif sayının çarpımı olduğu için pozitiftir.

Bu durumda eşitsizliğimiz pozitif bir sayı, negatif bir sayıdan küçüktür şekline dönüşür ki bu matematiksel olarak imkansızdır. Dolayısıyla x ve y negatif olamaz.