Geometrik Dizi Terim Toplamı

Merhaba Yezda, tam sayılardan oluşan bir geometrik dizi sorusu ile karşı karşıyayız. Haydi adım adım çözelim.

Bir geometrik dizide her terim, ilk terim a bir ve ortak çarpan r cinsinden yazılabilir.

Bize verilen ilk denklemi, yani a altı artı a üç eşittir yirmi ifadesini bu şekilde yazalım.

İkinci denklemimizi, yani a beş eksi a iki eşittir otuz ifadesini de benzer şekilde düzenleyelim.

Şimdi bu iki ifadeyi ortak çarpan parantezine alalım. İlk denklemde a bir r kare parantezine alırsak, parantez içinde r küp artı bir kalır.

İkinci denklemde ise a bir r parantezine aldığımızda karşımıza r küp eksi bir çıkar.

Bu iki denklemi birbirine oranlayarak a bir çarpanından kurtulabiliriz.

Burada a birler sadeleşir, r kare ile r sadeleşince pay kısmında bir tane r kalır. Sağ taraftaki oran ise iki bölü üç olur.

İçler dışlar çarpımı yaparak devam edelim. Üç r çarpı r küp artı bir, iki çarpı r küp eksi bire eşit olur.

Parantezleri dağıtalım: Üç r üzeri dört artı üç r eşittir iki r küp eksi iki.

Tüm terimleri sol tarafa toplayalım. Üç r üzeri dört eksi iki r küp artı üç r artı iki eşittir sıfır olur.

Bu denklemi çözmek için r değerlerini deneyebiliriz. Soruda terimlerin tam sayı olduğu verilmiş, bu yüzden r rasyonel bir sayı olmalı. Eksi bir bölü üç değerini deneyelim.

Eksi iki bölü üç değerini yazdığımızda denklemin sağlandığını görüyoruz. Ancak dizi terimleri tam sayı olduğu için r tam sayı böleni olan bir değer olmalıdır. r eşittir eksi iki bölü üç ise paydadaki üç, a bir içindeki üç çarpanlarını yok etmelidir.