Funktionsuntersuchung und Flächeninhalt einer ganzrationalen Funktion 4. Grades
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Aufgabe 2
(30 Punkte)
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = -2x^4 + 4x^2 + 1$, $x \in \mathbb{R}$. Ihr Schaubild ist $K_f$.
2.1 Untersuchen Sie $K_f$ auf Symmetrie.
Berechnen Sie die Koordinaten der Wendepunkte von $K_f$ und geben Sie das Krümmungsverhalten von $K_f$ an.
Zeichnen Sie $K_f$ für $-1,5 \le x \le 1,5$. (10 Punkte)
2.2 $K_f$ und die Gerade mit der Gleichung $y = 1$ schließen im 1. Quadranten eine Fläche ein. Markieren Sie die beschriebene Fläche in Ihrer Zeichnung aus 2.1. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche. (5 Punkte)
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In this problem, we are given a polynomial function f and asked to analyze its graph, K f. Let's start by looking at symmetry and inflection points.
Aufgabe 2: Funktionsanalyse
For part two point one, we examine symmetry. Notice that the function only contains even powers of x.
2.1 Symmetriebetrachtung
When we replace x with minus x, the powers remain the same. This means f of minus x equals f of x, so the graph is symmetric with respect to the y-axis.
Now let's find the inflection points. We need the first, second, and third derivatives.
Wendepunkte berechnen
To find candidate points for inflection, we set the second derivative to zero.
Solving for x squared, we get one third. Taking the square root, we find two possible x-values.
Since the third derivative is not zero at these points, they are indeed inflection points. Calculating the y-values by plugging them into the original function gives nineteen ninths.
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