Funktionsuntersuchung einer ganzrationalen Funktion

In dieser Aufgabe untersuchen wir die Funktion f von x gleich minus x hoch drei plus drei x plus zwei. Wir sollen Nullstellen nachweisen, Extrempunkte finden und das Krümmungsverhalten sowie eine Fläche berechnen.

Zuerst zeigen wir, dass x gleich minus eins eine Nullstelle ist. Wir setzen minus eins in die Funktion ein.

Minus eins hoch drei ist minus eins. Mit dem Vorzeichen wird es plus eins. Plus eins minus drei plus zwei ergibt null. Damit ist minus eins eine Nullstelle.

Nun prüfen wir x gleich zwei. Wir setzen zwei ein und erhalten minus zwei hoch drei plus drei mal zwei plus zwei.

Das ist minus acht plus sechs plus zwei, was ebenfalls null ergibt. Auch zwei ist also eine Nullstelle.

Als Nächstes bestimmen wir die Extrempunkte. Dafür benötigen wir die ersten beiden Ableitungen.

Für die notwendige Bedingung setzen wir die erste Ableitung gleich null.

Wir teilen durch minus drei und erhalten x quadrat gleich eins. Daraus ergeben sich zwei mögliche Stellen: x gleich minus eins und x gleich plus eins.

Wir prüfen diese mit der zweiten Ableitung. Für x gleich minus eins ist die zweite Ableitung sechs, also größer als null, was auf einen Tiefpunkt hinweist.