Funktionsanalyse: Trigonometrie, Ableitungen und Integrale
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3.5 Das Schaubild einer trigonometrischen Funktion verläuft durch den Tiefpunkt $T(0|-4)$ und hat in $H(4|1)$ einen Hochpunkt. Geben Sie zwei mögliche Funktionsterme an. (6 Punkte)
3.6 Gegeben sind die Schaubilder einer Funktion $g$, ihrer Ableitungsfunktion $g'$ und einer Stammfunktion $G$ von $g$.
[Abbildungen A, B, C]
Ordnen Sie die Funktionen $g$, $g'$ und $G$ den Schaubildern zu und begründen Sie Ihre Entscheidung.
Bestimmen Sie mit Hilfe Ihrer Zuordnung den Inhalt der Fläche, die das Schaubild $C$ auf dem Intervall $[-2; 2]$ mit der Geraden $y = 1$ einschließt. (6 Punkte)
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Drei Koordinatensysteme (A, B, C) mit Funktionsgraphen. Graph A zeigt eine wellenförmige Kurve mit fallender Tendenz. Graph B zeigt eine periodische Schwingung mit Amplituden zwischen ca. -3 und 3. Graph C zeigt eine ähnliche periodische Schwingung wie B, aber mit anderen Schnittpunkten und Amplituden. Alle Graphen sind auf einem Raster von -4 bis 4 auf der x-Achse und -3 bis 3 auf der y-Achse dargestellt.
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe schauen wir uns drei Schaubilder an und ordnen sie der Funktion g, ihrer Ableitung g Strich und ihrer Stammfunktion groß G zu.
Zuordnung von Funktionen
Betrachten wir die Zusammenhänge zwischen einer Funktion und ihrer Ableitung. An den Extrempunkten einer Funktion muss ihre Ableitung eine Nullstelle haben.
Schauen wir uns Schaubild B an. Es hat Nullstellen bei minus zwei comma fünf, minus eins, null comma fünf und so weiter. Genau an diesen Stellen hat Schaubild C Extrempunkte.
Analyse B und C
Das passt perfekt. Wenn wir weiter prüfen, sehen wir, dass Schaubild B im Intervall von minus eins bis null comma fünf negativ ist. In diesem Bereich fällt Schaubild C. Also ist B die Ableitung von C.
Nun schauen wir uns Schaubild C und Schaubild A an. Schaubild C hat Nullstellen bei etwa minus eins comma sechs und null comma sechs. An diesen Stellen hat Schaubild A Extrempunkte.
Damit ergibt sich die Kette: B ist die Ableitung von C, und C ist die Ableitung von A. Daraus folgt die Zuordnung.
| Schaubild | Funktion |
|---|---|
| A | G (Stammfunktion) |
| C | g (Funktion) |
| B | g' (Ableitungsfunktion) |
Im zweiten Teil der Aufgabe sollen wir den Flächeninhalt bestimmen, den Schaubild C auf dem Intervall von minus zwei bis zwei mit der Geraden y gleich eins einschließt.
Flächenberechnung
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