Fonksiyonun Sürekliliği

Question

$$f(x) = \begin{cases} x^2+a & , x > 2 \ x-b & , 0 \leqslant x \leqslant 2 \ (x+b)^2 - a^2 & , x < 0 \end{cases}$$ fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde sürekli olduğuna göre, $\frac{a}{b}$ kaçtır? A) 2 B) 1 C) $\frac{1}{2}$ D) $\frac{3}{2}$ E) $\frac{2}{3}$

Solvi · Accepted Answer

Merhaba Bilal, bu parçalı fonksiyonun tüm gerçel sayılar kümesinde sürekli olması için kritik noktalarında da sürekli olması gerekir. Süreklilik için kritik noktalarımız olan x eşittir 2 ve x eşittir 0 noktalarındaki sağ ve sol limitlerin eşit olması şarttır. Önce x eşittir 2 noktasına odaklanalım. Bu noktada sağdan limit, soldan limite eşit olmalıdır. x, 2'ye sağdan yaklaşırken üstteki fonksiyonu, soldan yaklaşırken ise ortadaki fonksiyonu kullanırız. Denklemi düzenlediğimizde, 4 artı a eşittir 2 eksi b sonucuna ulaşırız. Buradan a artı b toplamını eksi 2 olarak buluruz. Bu bizim birinci denklemimiz olsun. Şimdi ikinci kritik noktamız olan x eşittir 0 için aynı işlemi yapalım. Sıfıra sağdan yaklaşırken ortadaki, soldan yaklaşırken ise en alttaki fonksiyonu kullanıyoruz.

Fonksiyonun Sürekliliği

Animasyonlu Video Çözüm

Adım Adım Yazılı Çözüm