Fonksiyonun Daima Artan Olma Şartı

Merhaba Büşra, seninle birlikte bu harika AYT sorusunu adım adım çözelim. Öncelikle soruda bize verilen fonksiyonu ve şartları inceleyelim.

Fonksiyonumuz üçüncü dereceden bir polinomdur. f x eşittir a x küp artı b x kare artı x artı yedi.

Soruda bu fonksiyonun daima artan olduğu belirtilmiş. Bir fonksiyonun reel sayılarda daima artan olması için, türevinin her x reel sayısı için sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir.

Şimdi fonksiyonumuzun türevini alalım. x küplü terimin türevi üç x kare, x kareli terimin türevi iki x olur.

Bulduğumuz bu ikinci dereceden türev fonksiyonunun daima sıfırdan büyük veya eşit olması için iki temel şartımız vardır.

İlk olarak, baş katsayının pozitif olması gerekir. Yani üç a sıfırdan büyük olmalıdır. Buradan a'nın sıfırdan büyük olduğu sonucuna ulaşırız.

İkinci olarak, bu ifadenin reel kökü olmamalı veya çift katlı kökü olmalıdır. Dolayısıyla diskriminant yani delta sıfırdan küçük veya eşit olmalıdır.

Hadi türev fonksiyonumuzun diskriminantını hesaplayalım. Delta eşittir, iki b'nin karesi eksi dört çarpı üç a çarpı bir olur.

Buradan dört b kare eksi on iki a küçük eşittir sıfır eşitsizliğini elde ederiz.

Her iki tarafı da dörde bölerek sadeleştirirsek, b kare küçük eşittir üç a eşitsizliğine ulaşırız. Bu bizim en önemli birinci eşitsizliğimiz.

Şimdi soruda verilen diğer bilgiye geçelim: f eksi bir eşittir sıfır olarak verilmiş.

Orijinal f x fonksiyonunda x gördüğümüz her yere eksi bir yazalım ve sıfıra eşitleyelim.

Bu ifadeyi sadeleştirelim. Eksi birin küpü eksi birdir, karesi ise artı birdir. Buradan eksi a artı b eksi bir artı yedi eşittir sıfır buluruz.

Gerekli işlemleri yapınca eksi a artı b artı altı eşittir sıfır olur.