Fonksiyon Grafikleri ve Değer Sıralaması

Merhaba sevgili öğrenciler. Bu videoda harika bir fonksiyon grafik yorumlama sorusunu birlikte adım adım çözeceğiz. İlk olarak soruda verilen grafiği ve eşitlikleri inceleyelim.

Grafikte üç adet doğrusal fonksiyon görüyoruz. Analizimizi kolaylaştırmak için bunları renklerine göre adlandıralım: Yeşil fonksiyon artan ve diktir. Kırmızı fonksiyon artan ve daha yatıktır. Mavi fonksiyon ise azalandır.

Soruda a, b ve c sayılarının pozitif gerçel sayılar olduğu belirtilmiş. İlk eşitliğimiz f(a) eşittir g(a). Bu, f ve g fonksiyonlarının pozitif bir a değerinde kesiştiği anlamına gelir.

Grafiğe baktığımızda pozitif bölgede iki adet kesişim noktası vardır. Bunlar ya Yeşil ile Mavi fonksiyonlar arasındadır, ya da Kırmızı ile Mavi fonksiyonlar arasındadır. Şimdi bu durumları sırasıyla inceleyelim.

Birinci durum olarak, f ve g fonksiyonlarının Yeşil ve Mavi olduğunu varsayalım. Bu durumda geriye kalan h fonksiyonu Kırmızı olacaktır.

İlk alt durumumuzda f fonksiyonu Yeşil, g fonksiyonu Mavi olsun. Bu durumda a kesişim noktası Yeşil ile Mavi'nin kesiştiği noktadır.

Pozitif değerler için Yeşil fonksiyon Kırmızı fonksiyondan daima büyüktür. Dolayısıyla Yeşil a, Kırmızı a'dan büyüktür. Buradan Yeşil b'nin Yeşil a'dan küçük olduğunu buluruz. Yeşil fonksiyon artan olduğundan b, a'dan küçük olmalıdır.

Şimdi üçüncü eşitliğimizi yazalım: h(c) eşittir g(b) yani Kırmızı c eşittir Mavi b.

Bulduğumuz b küçüktür a bilgisini kullanalım. Mavi fonksiyon azalan olduğundan, b, a'dan küçükse Mavi b değeri Mavi a değerinden büyük olur. Mavi a değeri aynı zamanda Yeşil a'ya eşittir ve o da Kırmızı a'dan büyüktür.

Böylece Kırmızı c, Kırmızı a'dan büyük olur. Kırmızı artan bir fonksiyon olduğundan c, a'dan büyüktür. Bu iki sonucu birleştirirsek b küçüktür a küçüktür c sıralamasını elde ederiz. Yani ikinci öncül doğrudur.

Şimdi de f ve g fonksiyonlarının yerlerini değiştirelim. Yani f fonksiyonu Mavi, g fonksiyonu Yeşil ve h fonksiyonu yine Kırmızı olsun.

Kesişim noktasında Mavi a değeri, Kırmızı a değerinden büyüktür. O halde Mavi b, Mavi a'dan küçüktür. Mavi fonksiyon azalan olduğundan b'nin a'dan büyük olması gerekir.