Fonksiyonların Teğetleri ve Açı İlişkisi

MathematicsDerivatives and Tangent LinesZorYKS

Yayınlanma:

Soru

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f, g ve h fonksiyonlarının grafiklerinin sırasıyla A(a, f(a)), B(a, g(a)) ve C(a, h(a)) noktalarındaki teğetleri, x-ekseni üzerindeki D noktasında aşağıdaki gibi eşit açı oluşturarak kesişmektedir.

f(x) = g(x) + h(x) + \sqrt{3}x + b + \sqrt{3}a

eşitliği sağlanıyor.

h(a) = -1 olduğuna göre, b kaçtır?

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

Soruda görsel içerik var: A Cartesian coordinate system where three lines intersect at point D on the x-axis. The lines pass through points A, B, and C on a vertical dashed line suggesting they share the same x-coordinate 'a'. The y-values are labeled as A:2, B:1, and C:-1. The three lines make equal angles with the x-axis, suggesting the slopes are related to tan(theta), tan(0), and tan(-theta).

Animasyonlu Video Çözüm

İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.

Adım Adım Yazılı Çözüm

1
Adım 1

Merhaba Ali, gel bu türev ve geometri harmanlanmış soruyu birlikte çözelim.

Teğetlerin Eğimi ve Türevi İlişkisi

2
Adım 2

Soru bize f, g ve h fonksiyonlarının x eşittir a noktasındaki teğetlerinin D noktasında eşit açılar yaparak çakıştığını söylüyor.

D
3
Adım 3

D noktası x ekseni üzerinde olduğuna göre, orta teğetin eğim açısına alfa dersek, diğerleri alfa eksi teta ve alfa artı teta olacaktır. Ancak burada çok özel bir durum var: h'nin teğeti x ekseninin altında, g ve f ninki üstünde.

4
Adım 4

Şekilden görüyoruz ki g teğetinin açısı alfa ise, h teğetinin açısı eksi alfa ve f teğetinin açısı iki alfadır.

$$m_g = \tan(\alpha)$$
$$m_h = \tan(-\alpha) = -\tan(\alpha)$$
$$m_f = \tan(2\alpha)$$
5
Adım 5

Bu eğimler aynı zamanda fonksiyonların x eşittir a noktasındaki türevlerine eşittir.

$$f'(a) = \tan(2\alpha)$$
$$g'(a) = \tan(\alpha)$$
$$h'(a) = -\tan(\alpha)$$
6
Adım 6

Şimdi bize verilen ana denklemi hatırlayalım ve her iki yanın x'e göre türevini alalım.

Türev Alma İşlemi

$$f(x) = g(x) + h(x) + \sqrt{3}x + b + \sqrt{3}a$$
7
Adım 7

Eşitliğin her iki yanının türevini aldığımızda, b ve kök üç a gibi sabit terimler yok olur.

8
Adım 8

Şimdi x yerine a yazarak türevleri elde ettiğimiz tanjant cinsinden değerlerle değiştirelim.

$$f'(a) = g'(a) + h'(a) + \sqrt{3}$$
$$h'(a) = -\tan(\alpha)$$
$$g'(a) = \tan(\alpha)$$
9
Adım 9

g türev a artı h türev a toplamı, tanjant alfa ile eksi tanjant alfanın toplamına eşittir ve bu da sıfır yapar.

10
Adım 10

Yani f türev a eşittir kök üç buluruz. f teğetinin eğimi tanjant iki alfa olduğu için, tanjant iki alfa kök üçe eşittir.

11
Adım 11

Tanjantı kök üç olan açı altmış derecedir. Demek ki iki alfa altmış derece, dolayısıyla alfa otuz derecedir.

$$2\alpha = 60^\circ \implies \alpha = 30^\circ$$
12
Adım 12

Şimdi alfa değerini bildiğimize göre eğimleri hesaplayabiliriz.

Eğim Değerleri

$$g'(a) = \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$$
$$h'(a) = -\tan(30^\circ) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Çözümün devamı Solvi’de

12 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.

Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.

App Store’dan indir Google Play’den edin

İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye

100K+Her gün çözülen soru
50K+Öğrenen öğrenci
4.8 ★App Store puanı

Soru Bilgileri

Ders
Mathematics
Konu
Derivatives and Tangent Lines
Zorluk
Zor
Sınav
YKS
Soru Tipi
Çoktan Seçmeli

Benzer Sorular

Fonksiyonlara Çizilen Teğetler ve m Değeri Derivatives and Tangent Lines · Zor Türev ve Teğet Doğrularının Dikliği Derivatives and Tangent Lines · Orta Türevin Geometrik Yorumu Soru Çözümü Derivatives and Tangent Lines · Zor Orijinden Çizilen Dik Teğetler Derivatives and Tangent Lines · Zor Teğet Doğrusu Problemi Derivatives and Tangent Lines · Orta Fonksiyon Grafiğinde Eğim Sıralaması Derivatives and Tangent Lines · Orta

Her soruyu saniyeler içinde çöz

Fotoğrafını çek, yapay zeka adım adım, sesli ve animasyonlu anlatsın.

App Store’dan indir Google Play’den edin
Solvi
Çözümün devamı uygulamadaİndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
İndir