Fonksiyonlara Çizilen Teğetler ve m Değeri
Yayınlanma:
24. Dik koordinat düzleminde $f(x) = x^2$ ve $g(x) = \sqrt{-x}$ fonksiyonlarının grafikleri şekilde verilmiştir.
x ekseni üzerindeki $P(m,0)$ noktasından $f(x)$ ve $g(x)$ fonksiyonlarına çizilen teğetlerin dik kesiştiği bilinmektedir.
Buna göre m değeri kaçtır?
A) $\frac{1}{2}$ B) $\frac{1}{3}$ C) $\frac{1}{4}$ D) $\frac{1}{5}$ E) $\frac{1}{6}$
Soruda görsel içerik var: A coordinate system shows the graphs of two functions: f(x) = x^2 in blue, passing through the origin and opening upwards into the first quadrant, and g(x) = sqrt(-x) in red, passing through the origin and curving into the second quadrant. Point O is at the origin (0,0). Point P(m,0) lies on the positive x-axis. Lines are drawn from point P to the curves, though the specific lines are not explicitly plotted, the question describes them as tangents that intersect at a 90-degree angle.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba Zekiye, seninle birlikte bu harika geometri ve türev sorusunu adım adım çözelim.
P(m,0) Noktasından Çizilen Teğetlerin Analizi
Grafikte $f(x) = x^2$ ($x \ge 0$) ve $g(x) = \sqrt{-x}$ ($x \le 0$) fonksiyonları verilmiştir.
Soruda, x ekseni üzerindeki bir p noktasından bu iki eğriye çizilen teğetlerin dik kesiştiği söyleniyor. Şimdi bu teğetlerin eğimlerini bulalım.
Teğetlerin Dik Kesişme Koşulu:
İki doğrunun eğimleri çarpımı $-1$ olmalıdır:
$$m_1 \cdot m_2 = -1$$
İlk olarak f fonksiyonuna çizilen teğeti inceleyelim. Teğet noktamıza a virgül a kare diyelim.
f(x) = x² Eğrisine Çizilen Teğet
Türevi alarak bu noktadaki teğetin eğimini bulalım.
Buradan, teğetin eğimi m bir, iki a değerine eşit olur.
A noktasından geçen teğet doğrusunun denklemini yazalım.
Bu denklemi düzenlediğimizde teğet doğrumuzu elde ederiz.
Bu teğet doğrusu p m virgül sıfır noktasından geçtiğine göre, denklemde x yerine m, y yerine sıfır yazalım.
a sıfırdan büyük olduğuna göre, her iki tarafı a ile sadeleştirebiliriz.
Böylece birinci teğetin eğimini m cinsinden bulmuş olduk.
Şimdi g fonksiyonuna çizilen teğet doğrusunu inceleyelim. Teğet noktamız b virgül kök içinde eksi b olsun.
g(x) = \sqrt{-x} Eğrisine Çizilen Teğet
g fonksiyonunun türevini zincir kuralıyla hesaplayalım.
b noktasındaki teğet eğimi m iki olur.
Çözümün devamı Solvi’de
12 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
